Номер 1341, страница 169, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1341. Решите уравнения:

1) $\frac{\frac{4}{\frac{2}{7}+2}-x}{2x-\frac{1}{4}} = 6;$

2) $\frac{\frac{x-5}{3}-\frac{x-7}{4}}{\frac{x+5}{6}-\frac{x+7}{3}} = -\frac{3}{4}.$

1) Решим уравнение:

$$ \frac{\frac{4}{\frac{2}{7}+2}-x}{2x-\frac{1}{4}} = 6 $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$$ 2x - \frac{1}{4} \neq 0 \implies 2x \neq \frac{1}{4} \implies x \neq \frac{1}{8} $$

Теперь упростим числитель и знаменатель основной дроби.

Начнем с числителя: $ \frac{4}{\frac{2}{7}+2}-x $.

Вычислим знаменатель вложенной дроби: $ \frac{2}{7} + 2 = \frac{2}{7} + \frac{14}{7} = \frac{16}{7} $.

Теперь вычислим всю дробь в числителе: $ \frac{4}{\frac{16}{7}} = 4 \cdot \frac{7}{16} = \frac{28}{16} = \frac{7}{4} $.

Таким образом, числитель основной дроби равен $ \frac{7}{4} - x $.

Приведем числитель к общему знаменателю: $ \frac{7}{4} - x = \frac{7-4x}{4} $.

Знаменатель основной дроби: $ 2x - \frac{1}{4} = \frac{8x - 1}{4} $.

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$$ \frac{\frac{7-4x}{4}}{\frac{8x-1}{4}} = 6 $$

Упростим многоэтажную дробь, умножив числитель на перевернутый знаменатель:

$$ \frac{7-4x}{4} \cdot \frac{4}{8x-1} = 6 $$

$$ \frac{7-4x}{8x-1} = 6 $$

Решим полученное линейное уравнение. Умножим обе части на $ (8x-1) $:

$$ 7 - 4x = 6(8x - 1) $$

$$ 7 - 4x = 48x - 6 $$

Перенесем все слагаемые с $\text{x}$ в правую часть, а числа — в левую:

$$ 7 + 6 = 48x + 4x $$

$$ 13 = 52x $$

$$ x = \frac{13}{52} $$

Сократим дробь:

$$ x = \frac{1}{4} $$

Полученное значение $ x = \frac{1}{4} $ удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq \frac{1}{8} $).

Ответ: $ \frac{1}{4} $.

2) Решим уравнение:

$$ \frac{\frac{x-5}{3}-\frac{x-7}{4}}{\frac{x+5}{6}-\frac{x+7}{3}} = -\frac{3}{4} $$

Определим ОДЗ. Знаменатель основной дроби не должен быть равен нулю:

$$ \frac{x+5}{6}-\frac{x+7}{3} \neq 0 $$

Приведем к общему знаменателю 6:

$$ \frac{x+5 - 2(x+7)}{6} \neq 0 $$

$$ x+5 - 2x - 14 \neq 0 $$

$$ -x-9 \neq 0 $$

$$ x \neq -9 $$

Теперь упростим числитель и знаменатель основной дроби.

Упростим числитель, приведя к общему знаменателю 12:

$$ \frac{x-5}{3}-\frac{x-7}{4} = \frac{4(x-5) - 3(x-7)}{12} = \frac{4x - 20 - 3x + 21}{12} = \frac{x+1}{12} $$

Упростим знаменатель, приведя к общему знаменателю 6:

$$ \frac{x+5}{6}-\frac{x+7}{3} = \frac{x+5 - 2(x+7)}{6} = \frac{x+5 - 2x - 14}{6} = \frac{-x-9}{6} $$

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$$ \frac{\frac{x+1}{12}}{\frac{-x-9}{6}} = -\frac{3}{4} $$

Упростим многоэтажную дробь:

$$ \frac{x+1}{12} \cdot \frac{6}{-x-9} = -\frac{3}{4} $$

$$ \frac{x+1}{2(-x-9)} = -\frac{3}{4} $$

$$ \frac{x+1}{-2(x+9)} = -\frac{3}{4} $$

Знаки минус в обеих частях уравнения можно убрать:

$$ \frac{x+1}{2(x+9)} = \frac{3}{4} $$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$$ 4(x+1) = 3 \cdot 2(x+9) $$

$$ 4x + 4 = 6(x+9) $$

$$ 4x + 4 = 6x + 54 $$

Перенесем слагаемые с $\text{x}$ в одну сторону, а числа в другую:

$$ 4 - 54 = 6x - 4x $$

$$ -50 = 2x $$

$$ x = -25 $$

Полученное значение $ x = -25 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq -9 $).

Ответ: $ -25 $.