Номер 1343, страница 172, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1343. Определите, является ли зависимость между величинами прямой пропорциональностью:

1) Количество станков и количество выработанных ими изделий за определенное время при одинаковой производительности станков.

2) Площадь прямоугольника и его длина, если ширина постоянна.

3) Длина ребра куба и его объем.

4) Масса воды и ее объем.

5) Рост человека и его возраст.

6) Площадь круга и его радиус.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Математически это выражается формулой $y = kx$, где $\text{y}$ и $\text{x}$ – переменные величины, а $\text{k}$ – постоянный коэффициент пропорциональности, не равный нулю. Отношение таких величин всегда постоянно: $y/x = k$.

1) Количество станков и количество выработанных ими изделий за определенное время при одинаковой производительности станков.

Пусть $\text{N}$ – количество станков, $\text{I}$ – количество выработанных изделий, $\text{P}$ – производительность одного станка (постоянная величина), а $\text{t}$ – определенное время (также постоянная величина). Общее количество изделий равно произведению количества станков на производительность одного станка и на время работы: $I = N \cdot P \cdot t$. Поскольку $\text{P}$ и $\text{t}$ являются константами, их произведение $k = P \cdot t$ также является константой. Таким образом, зависимость можно записать в виде $I = k \cdot N$. Это является определением прямой пропорциональности. Если увеличить количество станков вдвое, то и количество произведенных изделий за то же время увеличится вдвое.

Ответ: да, является.

2) Площадь прямоугольника и его длина, если ширина постоянна.

Пусть $\text{S}$ – площадь прямоугольника, $\text{l}$ – его длина, а $\text{w}$ – его ширина. Формула площади: $S = l \cdot w$. По условию, ширина $\text{w}$ является постоянной величиной. Обозначим эту постоянную ширину как $\text{k}$. Тогда формула примет вид $S = l \cdot k$, или $S = kl$. Это формула прямой пропорциональности, где площадь $\text{S}$ прямо пропорциональна длине $\text{l}$. Если при постоянной ширине увеличить длину в несколько раз, площадь увеличится во столько же раз.

Ответ: да, является.

3) Длина ребра куба и его объем.

Пусть $\text{a}$ – длина ребра куба, а $\text{V}$ – его объем. Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$. Проверим, является ли отношение $V/a$ постоянным: $V/a = a^3/a = a^2$. Это отношение зависит от самой длины ребра $\text{a}$, следовательно, оно не является постоянным. Например, если ребро куба равно 2, то объем равен $2^3 = 8$. Если увеличить ребро в 2 раза до 4, то объем станет равен $4^3 = 64$. Длина ребра увеличилась в 2 раза, а объем – в $64/8 = 8$ раз. Зависимость не является прямой пропорциональностью.

Ответ: нет, не является.

4) Масса воды и ее объем.

Пусть $\text{m}$ – масса воды, а $\text{V}$ – ее объем. Эти величины связаны через плотность $\rho$ по формуле $m = \\rho\cdot V$. Плотность воды является физической константой (при одинаковых условиях температуры и давления). Таким образом, зависимость массы от объема является прямой пропорциональностью, где коэффициентом пропорциональности выступает плотность $k = \rho$. Увеличение объема воды вдвое приведет к двукратному увеличению ее массы.

Ответ: да, является.

5) Рост человека и его возраст.

Зависимость роста человека от его возраста не является прямой пропорциональностью. Человек растет неравномерно: очень быстро в младенчестве и детстве, затем рост замедляется и полностью прекращается по достижении определенного возраста (обычно к 20-25 годам). После этого возраст продолжает увеличиваться, а рост остается постоянным. Отношение роста к возрасту не является постоянной величиной. Например, в 10 лет рост может быть 140 см, а в 20 лет – 175 см, но не $140 \cdot 2 = 280$ см.

Ответ: нет, не является.

6) Площадь круга и его радиус.

Пусть $\text{S}$ – площадь круга, а $\text{r}$ – его радиус. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Эта зависимость не является прямой пропорциональностью, так как радиус входит в формулу во второй степени. Отношение $S/r = (\pi r^2)/r = \pi r$. Оно не постоянно, а зависит от радиуса $\text{r}$. Если увеличить радиус в 2 раза, то площадь увеличится в $2^2 = 4$ раза, а не в 2 раза. Поэтому данная зависимость не является прямой пропорциональностью.

Ответ: нет, не является.