Номер 1512, страница 211, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1512. Катер $3\frac{1}{2}$ часа шел по течению, затем $4\frac{1}{5}$ часа – против течения реки и прошел 159,67 км. Чему равна скорость течения реки? Найдите собственную скорость катера.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_c$ – собственная скорость катера в км/ч, а $v_r$ – скорость течения реки в км/ч.

Когда катер движется по течению, его скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по~течению} = v_c + v_r$.

Когда катер движется против течения, его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против~течения} = v_c - v_r$.

Переведем время движения в десятичные дроби для удобства расчетов:

Время по течению: $t_1 = 3\frac{1}{2} \text{ часа} = 3.5 \text{ часа}$.

Время против течения: $t_2 = 4\frac{1}{5} \text{ часа} = 4.2 \text{ часа}$.

Общий путь катера состоит из пути по течению и пути против течения. Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, составим уравнение:

$S_{общий} = S_{по~течению} + S_{против~течения}$

$159.67 = (v_c + v_r) \cdot t_1 + (v_c - v_r) \cdot t_2$

Подставим значения времени в уравнение:

$159.67 = (v_c + v_r) \cdot 3.5 + (v_c - v_r) \cdot 4.2$

Раскроем скобки:

$159.67 = 3.5v_c + 3.5v_r + 4.2v_c - 4.2v_r$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$159.67 = (3.5 + 4.2)v_c + (3.5 - 4.2)v_r$

$159.67 = 7.7v_c - 0.7v_r$

Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными. Чтобы найти однозначное решение, необходимо дополнительное условие, которое в тексте задачи отсутствует. Однако можно проанализировать полученное соотношение. Выразим $v_r$ через $v_c$:

$0.7v_r = 7.7v_c - 159.67$

Разделим обе части уравнения на 0.7:

$v_r = \frac{7.7}{0.7}v_c - \frac{159.67}{0.7}$

$v_r = 11v_c - 228.1$

Скорости должны быть положительными ($v_c > 0$, $v_r > 0$), и для движения против течения собственная скорость катера должна быть больше скорости течения ($v_c > v_r$).

Из условия $v_r > 0$ получаем:

$11v_c - 228.1 > 0 \implies 11v_c > 228.1 \implies v_c > \frac{228.1}{11} \implies v_c > 20.736...$

Из условия $v_c > v_r$ получаем:

$v_c > 11v_c - 228.1 \implies 228.1 > 10v_c \implies v_c < 22.81$

Следовательно, собственная скорость катера $v_c$ должна лежать в интервале от 20,736... до 22,81 км/ч. В школьных задачах часто предполагается, что искомые величины (особенно скорость транспортного средства) являются "красивыми" числами, например, целыми. В полученном нами интервале есть два целых числа: 21 и 22. Проверим их.

1. Пусть $v_c = 21$ км/ч. Тогда скорость течения будет:

$v_r = 11 \cdot 21 - 228.1 = 231 - 228.1 = 2.9$ км/ч. Такая пара скоростей (21 км/ч и 2,9 км/ч) является вполне реалистичной.

2. Пусть $v_c = 22$ км/ч. Тогда скорость течения будет:

$v_r = 11 \cdot 22 - 228.1 = 242 - 228.1 = 13.9$ км/ч. Скорость течения 13,9 км/ч является очень высокой и маловероятной для обычной реки.

Таким образом, наиболее правдоподобным является первый вариант. Выполним проверку, подставив $v_c = 21$ км/ч и $v_r = 2.9$ км/ч в исходное уравнение общего расстояния:

$(21 + 2.9) \cdot 3.5 + (21 - 2.9) \cdot 4.2 = 23.9 \cdot 3.5 + 18.1 \cdot 4.2 = 83.65 + 76.02 = 159.67$ км.

Результат совпал с общим расстоянием, данным в условии задачи.

Чему равна скорость течения реки?

Скорость течения реки равна 2,9 км/ч.

Ответ: 2,9 км/ч.

Найдите собственную скорость катера.

Собственная скорость катера равна 21 км/ч.

Ответ: 21 км/ч.