Номер 203, страница 68, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

203. Вычислите рациональным способом:

$\frac{99999 \cdot 55555}{1+3+5+7+9+8+6+4+2} : \frac{77777 \cdot 44444}{1+2+3+4+5+6+7}.$

Для вычисления значения выражения рациональным способом преобразуем его по частям. Исходное выражение:

$$ \frac{99999 \cdot 55555}{1+3+5+7+9+8+6+4+2} : \frac{77777 \cdot 44444}{1+2+3+4+5+6+7} $$

Сначала вычислим суммы в знаменателях. Знаменатель первой дроби: $1+3+5+7+9+8+6+4+2$. Сгруппируем слагаемые для удобства счета: $(1+9) + (3+7) + 5 + (8+2) + (6+4) = 10 + 10 + 5 + 10 + 10 = 45$.

Знаменатель второй дроби: $1+2+3+4+5+6+7$. Это сумма первых семи натуральных чисел, которую можно найти по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ для последовательных натуральных чисел, начиная с 1. Таким образом, $S_7 = \frac{7(7+1)}{2} = \frac{7 \cdot 8}{2} = 28$.

Теперь выражение имеет вид: $ \frac{99999 \cdot 55555}{45} : \frac{77777 \cdot 44444}{28} $.

Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь (делитель): $ \frac{99999 \cdot 55555}{45} \cdot \frac{28}{77777 \cdot 44444} $.

Для рационального вычисления представим большие числа в числителях в виде произведений: $99999 = 9 \cdot 11111$, $55555 = 5 \cdot 11111$, $77777 = 7 \cdot 11111$ и $44444 = 4 \cdot 11111$.

Подставим эти разложения в выражение: $ \frac{(9 \cdot 11111) \cdot (5 \cdot 11111)}{45} \cdot \frac{28}{(7 \cdot 11111) \cdot (4 \cdot 11111)} $.

Сгруппируем множители: $ \frac{9 \cdot 5 \cdot 11111 \cdot 11111}{45} \cdot \frac{28}{7 \cdot 4 \cdot 11111 \cdot 11111} $.

Так как $9 \cdot 5 = 45$ и $7 \cdot 4 = 28$, выражение можно переписать следующим образом: $ \frac{45 \cdot (11111)^2}{45} \cdot \frac{28}{28 \cdot (11111)^2} $.

Объединим все в одну дробь: $ \frac{45 \cdot (11111)^2 \cdot 28}{45 \cdot 28 \cdot (11111)^2} $. Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе ($45$, $28$ и $(11111)^2$), получаем 1.

Ответ: 1