Номер 201, страница 67, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

201. На рисунке 1.24 изображен прямоугольник длиной 10 см, шириной 5 см. Найдите площадь закрашенной части прямоугольника.

Рис. 1.24

Прямоугольник размерами 10 см на 5 см состоит из двух квадратов со стороной 5 см. В каждом квадрате изображена одинаковая закрашенная фигура. Найдем площадь одной такой фигуры, а затем умножим результат на два.

Рассмотрим один квадрат со стороной $a = 5$ см. Закрашенная фигура в нем состоит из четырех симметричных частей, похожих на лепестки. Незакрашенная часть состоит из четырех угловых областей.

Пусть $S_{л}$ — площадь одного «лепестка», а $S_{у}$ — площадь одной угловой области. Тогда площадь всего квадрата можно выразить как сумму площадей четырех лепестков и четырех углов:

$S_{квадрата} = 4S_{л} + 4S_{у} = a^2$

Отсюда получаем первое уравнение:

$S_{л} + S_{у} = \frac{a^2}{4}$

Кривые, образующие фигуру, являются дугами полуокружностей, построенных на сторонах квадрата как на диаметрах. Площадь одной такой полуокружности равна:

$S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (\frac{a}{2})^2 = \frac{\pi a^2}{8}$

Область, занимаемая одной полуокружностью (например, построенной на верхней стороне квадрата), покрывает два «лепестка» и одну угловую область. Таким образом, получаем второе уравнение:

$2S_{л} + S_{у} = \frac{\pi a^2}{8}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $S_{л} + S_{у} = \frac{a^2}{4}$

2) $2S_{л} + S_{у} = \frac{\pi a^2}{8}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(2S_{л} + S_{у}) - (S_{л} + S_{у}) = \frac{\pi a^2}{8} - \frac{a^2}{4}$

$S_{л} = \frac{\pi a^2}{8} - \frac{2a^2}{8} = \frac{a^2(\pi - 2)}{8}$

Площадь одной закрашенной фигуры $S_{фигуры}$ состоит из четырех лепестков:

$S_{фигуры} = 4S_{л} = 4 \times \frac{a^2(\pi - 2)}{8} = \frac{a^2(\pi - 2)}{2} = a^2(\frac{\pi}{2} - 1)$

Подставим значение $a = 5$ см:

$S_{фигуры} = 5^2(\frac{\pi}{2} - 1) = 25(\frac{\pi}{2} - 1) = (\frac{25\pi}{2} - 25)$ см².

Поскольку в прямоугольнике две такие фигуры, общая площадь закрашенной части $S_{общая}$ равна:

$S_{общая} = 2 \times S_{фигуры} = 2 \times (\frac{25\pi}{2} - 25) = 25\pi - 50$ см².

Ответ: $25\pi - 50$ см².