Номер 194, страница 66, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

194. Сторона квадрата, изображенного на рисунке 1.21, равна 10 см. Найдите площадь закрашенной части квадрата.

Рис. 1.21

Для нахождения площади закрашенной части квадрата можно из площади всего квадрата вычесть площади четырех одинаковых незакрашенных угловых областей.

1. Найдем площадь всего квадрата. Сторона квадрата $a = 10$ см, следовательно, его площадь $S_{квадрата}$ равна: $S_{квадрата} = a^2 = 10^2 = 100$ см$^2$.

2. Найдем площадь одной незакрашенной угловой области. Рассмотрим, например, верхнюю правую область. Эта область является частью квадрата со стороной 5 см, расположенного в верхнем правом углу большого квадрата.

Изображенная фигура симметрична. Криволинейная граница закрашенной части состоит из четырех дуг окружностей. Дуга в верхнем правом квадранте соединяет точки, являющиеся серединами верхней и правой сторон большого квадрата. Центр этой дуги находится в вершине большого квадрата, то есть в точке $(10, 10)$, если считать от левого нижнего угла. Радиус этой дуги равен половине стороны квадрата, то есть $r = 10 / 2 = 5$ см.

Эта дуга отсекает от квадрата со стороной 5 см (с вершинами в точках $(5,5), (10,5), (10,10), (5,10)$) сектор, который является четвертью круга. Площадь этого сектора $S_{сектор}$ равна: $S_{сектор} = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (5^2) = \frac{25\pi}{4}$ см$^2$.

Этот сектор является частью закрашенной фигуры. Незакрашенная же угловая область $S_{угл}$ — это оставшаяся часть квадрата 5x5 см. Таким образом, ее площадь равна: $S_{угл} = S_{квадрата \ 5\times5} - S_{сектор} = 5^2 - \frac{25\pi}{4} = 25 - \frac{25\pi}{4}$ см$^2$.

3. Найдем общую площадь всех четырех незакрашенных областей, умножив площадь одной из них на 4: $S_{незакр} = 4 \cdot S_{угл} = 4 \cdot (25 - \frac{25\pi}{4}) = 100 - 25\pi$ см$^2$.

4. Теперь найдем площадь закрашенной части $S_{закр}$, вычтя из площади большого квадрата общую площадь незакрашенных частей: $S_{закр} = S_{квадрата} - S_{незакр} = 100 - (100 - 25\pi) = 100 - 100 + 25\pi = 25\pi$ см$^2$.

Ответ: $25\pi$ см$^2$.