Номер 200, страница 67, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

200. На рисунке 1.23 изображен квадрат со стороной 20 см. Найдите площадь закрашенной части квадрата.

Рис. 1.23

Для решения задачи найдем площадь одной закрашенной фигуры (листа) и умножим ее на четыре.

Разобьем квадрат на четыре меньших квадрата со стороной $10 \text{ см}$. Каждый такой малый квадрат содержит один "лист".

Рассмотрим один из таких малых квадратов. Пусть его вершины находятся в точках с координатами (0, 0), (10, 0), (10, 10) и (0, 10). Закрашенный лист внутри этого квадрата образован пересечением двух дуг окружностей.

Одна дуга является частью круга с центром в точке (10, 0) и радиусом $r = 10 \text{ см}$. Вторая дуга является частью круга с центром в точке (0, 10) и таким же радиусом $r = 10 \text{ см}$. Эти две дуги пересекаются в точках (0, 0) и (10, 10).

Площадь одного "листа" можно найти как сумму площадей двух одинаковых сегментов круга, но проще найти ее как сумму площадей двух секторов за вычетом площади квадрата, который они покрывают дважды.

Давайте найдем площадь одного "листа" по-другому. Площадь "листа" равна удвоенной площади сегмента круга. Найдем площадь одного такого сегмента.

Площадь сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника.

Рассмотрим сектор с центром в точке (10, 0), ограниченный радиусами, проведенными в точки (0, 0) и (10, 10). Угол этого сектора составляет $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан, так как катеты соответствующего прямоугольного треугольника равны радиусу (10 см).

Площадь сектора вычисляется по формуле:

$S_{сектора} = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (10)^2 = \frac{100\pi}{4} = 25\pi \text{ см}^2$.

Площадь треугольника, который отсекает этот сектор, с вершинами в точках (10, 0), (0, 0) и (10, 10), равна:

$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50 \text{ см}^2$.

Площадь одного кругового сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника:

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника} = 25\pi - 50 \text{ см}^2$.

Один "лист" состоит из двух таких сегментов (один от круга с центром в (10,0), другой от круга с центром в (0,10)). Поэтому площадь одного "листа" равна:

$S_{листа} = 2 \times S_{сегмента} = 2 \times (25\pi - 50) = 50\pi - 100 \text{ см}^2$.

Так как всего в квадрате четыре одинаковых "листа", общая площадь закрашенной части равна:

$S_{закрашенной} = 4 \times S_{листа} = 4 \times (50\pi - 100) = 200\pi - 400 \text{ см}^2$.

Приближенное значение, если принять $\pi \approx 3.14$:

$S_{закрашенной} \approx 200 \times 3.14 - 400 = 628 - 400 = 228 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь закрашенной части квадрата равна $200\pi - 400 \text{ см}^2$.