Номер 358, страница 115, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

358. В одном ауле $a \cdot 100 + b \cdot 10 + 5$ телефонов, а в другом – $c \cdot 100 + d \cdot 10 + 4$ телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон одного аула был соединен с каждым телефоном другого?

Для решения этой задачи проанализируем количество телефонов в каждом ауле и условия их соединения.

1. Определим количество телефонов в каждом ауле.

Пусть $N_1$ — количество телефонов в первом ауле, а $N_2$ — во втором.

Количество телефонов в первом ауле: $N_1 = a \cdot 100 + b \cdot 10 + 5$.

Поскольку $a \cdot 100$ и $b \cdot 10$ являются числами, оканчивающимися на ноль, их сумма также оканчивается на ноль. Прибавив 5, мы получаем число, которое всегда будет оканчиваться на 5. Любое целое число, оканчивающееся на 5, является нечетным. Таким образом, $N_1$ — нечетное число.

Количество телефонов во втором ауле: $N_2 = c \cdot 100 + d \cdot 10 + 4$.

Аналогично, сумма $c \cdot 100 + d \cdot 10$ оканчивается на ноль. Прибавив 4, мы получаем число, которое всегда будет оканчиваться на 4. Любое целое число, оканчивающееся на 4, является четным. Таким образом, $N_2$ — четное число.

2. Проанализируем условия соединения.

Задача требует, чтобы каждый телефон одного аула был соединен с каждым телефоном другого. Это можно представить как граф, где телефоны — это вершины, а провода — ребра.

Рассмотрим, сколько соединений (проводов) будет у каждого телефона:

• Каждый из $N_1$ телефонов в первом ауле должен быть соединен со всеми $N_2$ телефонами во втором ауле. Следовательно, у каждого телефона из первого аула будет $N_2$ соединений. Так как $N_2$ — четное число, у каждого телефона в первом ауле будет четное число соединений.
• Каждый из $N_2$ телефонов во втором ауле должен быть соединен со всеми $N_1$ телефонами в первом ауле. Следовательно, у каждого телефона из второго аула будет $N_1$ соединений. Так как $N_1$ — нечетное число, у каждого телефона во втором ауле будет нечетное число соединений.

3. Проверим возможность такого соединения.

В теории графов существует фундаментальное правило, известное как лемма о рукопожатиях: в любом графе количество вершин с нечетной степенью (в нашем случае — телефонов с нечетным числом соединений) должно быть четным.

В нашей задаче телефоны с нечетным числом соединений — это телефоны второго аула. Их количество равно $N_2$.

Мы установили, что $N_2$ — это четное число. Таким образом, количество телефонов с нечетным числом соединений является четным.

Поскольку основное условие для существования такой сети соединений выполняется, никаких логических противоречий нет.

Ответ: да, можно. Условие выполнимо, так как количество телефонов, к которым нужно подключить нечетное число проводов (это $N_2$ телефонов второго аула), является четным числом.