Номер 453, страница 139, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

453. Решите уравнения:

1) $\frac{|x+7|}{16} = \frac{32}{25,6};$

2) $\frac{1,8}{|x-0,9|} = \frac{3}{8,5};$

3) $\frac{6,9}{11,5} = \frac{5,7}{|x+0,5|};$

4) $\frac{9,8}{2,1} = \frac{12,6}{|x-0,3|}.$

1)

Дано уравнение: $\frac{|x + 7|}{16} = \frac{32}{25{,}6}$.

Для начала, упростим правую часть уравнения. Для этого можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$\frac{32}{25{,}6} = \frac{32 \cdot 10}{25{,}6 \cdot 10} = \frac{320}{256}$.

Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 64:

$\frac{320}{256} = \frac{5 \cdot 64}{4 \cdot 64} = \frac{5}{4} = 1{,}25$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$\frac{|x + 7|}{16} = 1{,}25$.

Умножим обе части уравнения на 16:

$|x + 7| = 1{,}25 \cdot 16 = 20$.

Уравнение вида $|A| = B$ (при $B \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$. Применим это правило:

1) $x + 7 = 20 \implies x = 20 - 7 \implies x = 13$.

2) $x + 7 = -20 \implies x = -20 - 7 \implies x = -27$.

Ответ: $13; -27$.

2)

Дано уравнение: $\frac{1{,}8}{|x - 0{,}9|} = \frac{3}{8{,}5}$.

Это пропорция. Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$3 \cdot |x - 0{,}9| = 1{,}8 \cdot 8{,}5$.

Вычислим произведение в правой части:

$1{,}8 \cdot 8{,}5 = 15{,}3$.

Получаем уравнение:

$3 \cdot |x - 0{,}9| = 15{,}3$.

Разделим обе части на 3:

$|x - 0{,}9| = \frac{15{,}3}{3} = 5{,}1$.

Раскроем модуль, рассмотрев два возможных случая:

1) $x - 0{,}9 = 5{,}1 \implies x = 5{,}1 + 0{,}9 \implies x = 6$.

2) $x - 0{,}9 = -5{,}1 \implies x = -5{,}1 + 0{,}9 \implies x = -4{,}2$.

Ответ: $6; -4{,}2$.

3)

Дано уравнение: $\frac{6{,}9}{11{,}5} = \frac{5{,}7}{|x + 0{,}5|}$.

Сначала упростим левую часть уравнения:

$\frac{6{,}9}{11{,}5} = \frac{69}{115}$.

Заметим, что числитель и знаменатель делятся на 23:

$\frac{69}{115} = \frac{3 \cdot 23}{5 \cdot 23} = \frac{3}{5} = 0{,}6$.

Уравнение принимает вид:

$0{,}6 = \frac{5{,}7}{|x + 0{,}5|}$.

Отсюда выразим знаменатель с модулем:

$|x + 0{,}5| = \frac{5{,}7}{0{,}6} = \frac{57}{6} = 9{,}5$.

Раскроем модуль, рассмотрев два возможных случая:

1) $x + 0{,}5 = 9{,}5 \implies x = 9{,}5 - 0{,}5 \implies x = 9$.

2) $x + 0{,}5 = -9{,}5 \implies x = -9{,}5 - 0{,}5 \implies x = -10$.

Ответ: $9; -10$.

4)

Дано уравнение: $\frac{9{,}8}{2{,}1} = \frac{12{,}6}{|x - 0{,}3|}$.

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{9{,}8}{2{,}1} = \frac{98}{21}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:

$\frac{98}{21} = \frac{14 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{3}$.

Уравнение теперь выглядит так:

$\frac{14}{3} = \frac{12{,}6}{|x - 0{,}3|}$.

Воспользуемся свойством пропорции, чтобы выразить знаменатель с модулем:

$|x - 0{,}3| = \frac{12{,}6 \cdot 3}{14}$.

Вычислим правую часть:

$|x - 0{,}3| = \frac{37{,}8}{14} = 2{,}7$.

Раскроем модуль, рассмотрев два возможных случая:

1) $x - 0{,}3 = 2{,}7 \implies x = 2{,}7 + 0{,}3 \implies x = 3$.

2) $x - 0{,}3 = -2{,}7 \implies x = -2{,}7 + 0{,}3 \implies x = -2{,}4$.

Ответ: $3; -2{,}4$.