Номер 601, страница 172, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

601. Обратите смешанную периодическую дробь в обыкновенную:

1) $2,1(6)$;

2) $5,14(33)$;

3) $0,11(35)$;

4) $0,214(45)$.

1)

Для преобразования смешанной периодической дроби $2,1(6)$ в обыкновенную, представим ее как сумму целой и дробной частей: $2,1(6) = 2 + 0,1(6)$.

Преобразуем дробную часть $0,1(6)$ по следующему правилу. В числитель искомой дроби запишем разность между числом, составленным из цифр после запятой (16), и числом, составленным из цифр до периода (1). В знаменатель запишем столько девяток, сколько цифр в периоде (одна '6' → одна 9), и столько нулей, сколько цифр между запятой и периодом (одна '1' → один 0).

$0,1(6) = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90}$.

Сократив дробь на 15, получим: $\frac{15}{90} = \frac{1}{6}$.

Следовательно, исходное число равно: $2,1(6) = 2 + \frac{1}{6} = 2\frac{1}{6}$.

Ответ: $2\frac{1}{6}$.

2)

Запись $5,14(33)$ означает $5,14333...$, что эквивалентно $5,14(3)$.

Целая часть равна 5. Дробную часть $0,14(3)$ преобразуем в обыкновенную дробь.

Числитель будет равен разности числа после запятой (143) и числа до периода (14): $143 - 14 = 129$.

Знаменатель будет содержать одну девятку (так как в периоде одна цифра '3') и два нуля (так как между запятой и периодом две цифры '14'). Знаменатель равен 900.

Получаем дробь: $0,14(3) = \frac{143 - 14}{900} = \frac{129}{900}$.

Сократим ее, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3: $\frac{129 \div 3}{900 \div 3} = \frac{43}{300}$.

Итак, $5,14(33) = 5 + \frac{43}{300} = 5\frac{43}{300}$.

Ответ: $5\frac{43}{300}$.

3)

Для преобразования дроби $0,11(35)$ в обыкновенную, определим ее числитель и знаменатель.

Числитель равен разности числа после запятой (1135) и числа до периода (11): $1135 - 11 = 1124$.

Знаменатель содержит две девятки (в периоде две цифры '35') и два нуля (до периода две цифры '11'). Знаменатель равен 9900.

Получаем дробь: $0,11(35) = \frac{1135 - 11}{9900} = \frac{1124}{9900}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4: $\frac{1124 \div 4}{9900 \div 4} = \frac{281}{2475}$.

Так как 281 - простое число, и 2475 на него не делится, дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{281}{2475}$.

4)

Преобразуем периодическую дробь $0,214(45)$ в обыкновенную.

Числитель дроби равен разности числа, составленного из цифр после запятой (21445), и числа, составленного из цифр до периода (214): $21445 - 214 = 21231$.

Знаменатель дроби состоит из двух девяток (по числу цифр в периоде '45') и трех нулей (по числу цифр до периода '214'). Знаменатель равен 99000.

Получаем дробь: $0,214(45) = \frac{21445 - 214}{99000} = \frac{21231}{99000}$.

Сумма цифр числителя ($2+1+2+3+1=9$) делится на 9, поэтому сократим дробь на 9: $\frac{21231 \div 9}{99000 \div 9} = \frac{2359}{11000}$.

Проверка на дальнейшее сокращение показывает, что у числителя ($2359 = 7 \cdot 337$) и знаменателя ($11000 = 2^3 \cdot 5^3 \cdot 11$) нет общих множителей. Дробь несократима.

Ответ: $\frac{2359}{11000}$.