Номер 598, страница 171, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

598. Обратите смешанную периодическую дробь в обыкновенную:

1) $0,5(3);$

2) $0,17(8);$

3) $0,23(16);$

4) $0,14(234).$

1) Чтобы обратить смешанную периодическую дробь $0,5(3)$ в обыкновенную, обозначим ее через $\text{x}$.

$x = 0,5(3) = 0,5333...$

Сначала умножим число на $10$, чтобы после запятой осталась только периодическая часть:

$10x = 5,333...$

Затем умножим исходное число на $100$, чтобы сдвинуть запятую за первый период:

$100x = 53,333...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной периодической части:

$100x - 10x = 53,333... - 5,333...$

$90x = 48$

Отсюда находим $\text{x}$:

$x = \frac{48}{90}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на $\text{6}$:

$x = \frac{48 \div 6}{90 \div 6} = \frac{8}{15}$

Ответ: $\frac{8}{15}$

2) Обозначим дробь $0,17(8)$ через $\text{x}$.

$x = 0,17(8) = 0,17888...$

Умножим число на $100$, чтобы "освободить" период (часть до периода состоит из двух цифр):

$100x = 17,888...$

Умножим исходное число на $1000$, чтобы сдвинуть запятую за первый период (всего три цифры до конца первого периода):

$1000x = 178,888...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - 100x = 178,888... - 17,888...$

$900x = 161$

Находим $\text{x}$:

$x = \frac{161}{900}$

Проверим, можно ли сократить дробь. Числитель $161 = 7 \times 23$. Знаменатель $900 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2$. Общих простых делителей нет, значит, дробь несократимая.

Ответ: $\frac{161}{900}$

3) Обозначим дробь $0,23(16)$ через $\text{x}$.

$x = 0,23(16) = 0,23161616...$

Умножим на $100$, так как до периода две цифры:

$100x = 23,161616...$

Умножим на $10000$, так как всего после запятой до конца первого периода 4 цифры (2 до периода и 2 в периоде):

$10000x = 2316,161616...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10000x - 100x = 2316,1616... - 23,1616...$

$9900x = 2293$

Находим $\text{x}$:

$x = \frac{2293}{9900}$

Знаменатель $9900 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 11$. Числитель $2293$ не делится ни на $\text{2}$, ни на $\text{3}$, ни на $\text{5}$, ни на $11$, и является простым числом. Следовательно, дробь несократимая.

Ответ: $\frac{2293}{9900}$

4) Обозначим дробь $0,14(234)$ через $\text{x}$.

$x = 0,14(234) = 0,14234234...$

Умножим на $100$, так как до периода две цифры:

$100x = 14,234234...$

Умножим на $100000$, так как всего после запятой до конца первого периода 5 цифр (2 до периода и 3 в периоде):

$100000x = 14234,234234...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$100000x - 100x = 14234,234... - 14,234...$

$99900x = 14220$

Находим $\text{x}$:

$x = \frac{14220}{99900}$

Сократим полученную дробь. Сначала на $10$:

$x = \frac{1422}{9990}$

Числитель и знаменатель четные, сократим на $\text{2}$:

$x = \frac{711}{4995}$

Сумма цифр числителя $7+1+1=9$, сумма цифр знаменателя $4+9+9+5=27$. Оба числа делятся на $\text{9}$. Сократим на $\text{9}$:

$x = \frac{711 \div 9}{4995 \div 9} = \frac{79}{555}$

Так как $79$ — простое число, а $555$ не делится на $79$ ($555 = 5 \times 111 = 5 \times 3 \times 37$), дробь несократимая.

Ответ: $\frac{79}{555}$