Номер 597, страница 171, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

597. Обратите чистую периодическую дробь в обыкновенную:

1) $0,(4)$;

2) $0,(19)$;

3) $0,(369)$;

4) $0,(217)$.

1) 0,(4)

Чтобы обратить чистую периодическую дробь $0,(a_1a_2...a_n)$ в обыкновенную, нужно записать в числитель число, образованное цифрами в периоде ($a_1a_2...a_n$), а в знаменатель — число, состоящее из $\text{n}$ девяток.

Для дроби $0,(4)$ в периоде одна цифра — 4. Следовательно, в числителе будет 4, а в знаменателе — одна девятка.

$0,(4) = \frac{4}{9}$

Это можно также показать алгебраически:

1. Обозначим дробь через $\text{x}$: $x = 0,(4) = 0.444...$

2. Так как в периоде одна цифра, умножим обе части на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо: $10x = 4.444...$

3. Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 4.444... - 0.444...$

$9x = 4$

4. Найдем $\text{x}$: $x = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

2) 0,(19)

Для дроби $0,(19)$ в периоде две цифры — 19. Следовательно, в числителе будет 19, а в знаменателе — две девятки, то есть 99.

$0,(19) = \frac{19}{99}$

Алгебраический способ:

1. Обозначим $x = 0,(19) = 0.191919...$

2. Так как в периоде две цифры, умножим обе части на 100: $100x = 19.191919...$

3. Вычтем из второго уравнения первое:

$100x - x = 19.191919... - 0.191919...$

$99x = 19$

4. Найдем $\text{x}$: $x = \frac{19}{99}$

Ответ: $\frac{19}{99}$

3) 0,(369)

Для дроби $0,(369)$ в периоде три цифры — 369. Следовательно, в числителе будет 369, а в знаменателе — три девятки, то есть 999.

$0,(369) = \frac{369}{999}$

Полученную дробь необходимо сократить. Сумма цифр числителя ($3+6+9=18$) и знаменателя ($9+9+9=27$) делится на 9, значит, и сами числа делятся на 9.

$\frac{369 \div 9}{999 \div 9} = \frac{41}{111}$

Число 41 является простым, а 111 на 41 не делится, поэтому дробь $\frac{41}{111}$ является несократимой.

Алгебраический способ:

1. Обозначим $x = 0,(369) = 0.369369...$

2. Так как в периоде три цифры, умножим обе части на 1000: $1000x = 369.369369...$

3. Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - x = 369.369369... - 0.369369...$

$999x = 369$

4. Найдем $\text{x}$ и сократим дробь: $x = \frac{369}{999} = \frac{41}{111}$

Ответ: $\frac{41}{111}$

4) 0,(217)

Для дроби $0,(217)$ в периоде три цифры — 217. Следовательно, в числителе будет 217, а в знаменателе — три девятки, то есть 999.

$0,(217) = \frac{217}{999}$

Проверим, можно ли сократить эту дробь. Разложим числитель и знаменатель на простые множители:

$217 = 7 \times 31$

$999 = 9 \times 111 = 3^3 \times 37$

Так как у числителя и знаменателя нет общих простых множителей, дробь является несократимой.

Алгебраический способ:

1. Обозначим $x = 0,(217) = 0.217217...$

2. Так как в периоде три цифры, умножим обе части на 1000: $1000x = 217.217217...$

3. Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - x = 217.217217... - 0.217217...$

$999x = 217$

4. Найдем $\text{x}$: $x = \frac{217}{999}$

Ответ: $\frac{217}{999}$