Номер 604, страница 172, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Найдите значение выражения (604, 605):

604. 1) $0,(4) + \frac{2}{3}$;

2) $6,(24) - \frac{5}{33}$;

3) $2,(8) + 1\frac{2}{3}$;

4) $3,(216) + \frac{87}{111}$.

1) Для того чтобы найти значение выражения $0,(4) + \frac{2}{3}$, сначала переведем периодическую дробь $0,(4)$ в обыкновенную. Пусть $x = 0,(4) = 0,444...$. Тогда $10x = 4,444...$. Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 4,444... - 0,444...$, что дает $9x = 4$, откуда $x = \frac{4}{9}$. Теперь выполним сложение: $\frac{4}{9} + \frac{2}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 9: $\frac{4}{9} + \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9} + \frac{6}{9} = \frac{4+6}{9} = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$.

Ответ: $1\frac{1}{9}$.

2) Найдем значение выражения $6,(24) - \frac{5}{33}$. Сначала представим $6,(24)$ в виде смешанного числа. Периодическая часть $0,(24)$ может быть записана как дробь. Пусть $x = 0,(24) = 0,2424...$. Тогда $100x = 24,2424...$. Вычитая $\text{x}$ из $100x$, получаем $99x = 24$, откуда $x = \frac{24}{99}$. Сократим дробь на 3: $x = \frac{8}{33}$. Таким образом, $6,(24) = 6 + \frac{8}{33} = 6\frac{8}{33}$. Теперь выполним вычитание: $6\frac{8}{33} - \frac{5}{33} = 6 + (\frac{8}{33} - \frac{5}{33}) = 6 + \frac{3}{33} = 6 + \frac{1}{11} = 6\frac{1}{11}$.

Ответ: $6\frac{1}{11}$.

3) Вычислим $2,(8) + 1\frac{2}{3}$. Переведем $2,(8)$ в смешанное число. Для этого представим $0,(8)$ в виде дроби. Пусть $x = 0,(8) = 0,888...$. Тогда $10x = 8,888...$. Вычитаем: $10x - x = 8,888... - 0,888...$, получаем $9x = 8$, откуда $x = \frac{8}{9}$. Значит, $2,(8) = 2 + \frac{8}{9} = 2\frac{8}{9}$. Теперь сложим два смешанных числа: $2\frac{8}{9} + 1\frac{2}{3}$. Сложим целые и дробные части: $(2+1) + (\frac{8}{9} + \frac{2}{3})$. Приведем дроби к общему знаменателю 9: $\frac{8}{9} + \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9} + \frac{6}{9} = \frac{14}{9} = 1\frac{5}{9}$. Теперь добавим целые части: $3 + 1\frac{5}{9} = 4\frac{5}{9}$.

Ответ: $4\frac{5}{9}$.

4) Найдем значение выражения $3,(216) + \frac{87}{111}$. Переведем периодическую дробь $3,(216)$ в смешанное число. Рассмотрим дробную часть $0,(216)$. Пусть $x = 0,(216) = 0,216216...$. В периоде 3 цифры, поэтому умножим на 1000: $1000x = 216,216216...$. Вычтем $\text{x}$: $1000x - x = 216,216... - 0,216...$, что дает $999x = 216$, откуда $x = \frac{216}{999}$. Сократим эту дробь. Сумма цифр числителя $2+1+6=9$ и знаменателя $9+9+9=27$, значит оба делятся на 9. $\frac{216 \div 9}{999 \div 9} = \frac{24}{111}$. Итак, $3,(216) = 3\frac{24}{111}$. Теперь выполним сложение: $3\frac{24}{111} + \frac{87}{111} = 3 + (\frac{24}{111} + \frac{87}{111}) = 3 + \frac{24+87}{111} = 3 + \frac{111}{111} = 3 + 1 = 4$.

Ответ: $\text{4}$.