Номер 610, страница 173, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

610. Вычислите способом, который использовал Гаусс при сложении:

1) $-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11;$

2) $1 \cdot (-2)+2 \cdot (-2)+3 \cdot (-2)+4 \cdot (-2)+5 \cdot (-2)+6 \cdot (-2);$

3) $6 : (-3)+9 : (-3)+12 : (-3)+15 : (-3)+18 : (-3)+21 : (-3).$

1) -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11

Данное выражение представляет собой сумму отрицательных чисел. Можно вынести знак минус за скобки, чтобы работать с суммой натуральных чисел:

$-(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)$

Теперь нужно вычислить сумму чисел от 1 до 11. Способ, который использовал Гаусс, заключается в попарном сложении чисел с начала и с конца последовательности. Всего в последовательности 11 чисел.

Сгруппируем числа:

$(1+11) + (2+10) + (3+9) + (4+8) + (5+7) + 6$

Сумма каждой из первых пяти пар равна 12. Всего у нас 5 таких пар, и число 6 в середине остается без пары.

Сумма равна произведению количества пар на сумму в каждой паре, плюс оставшееся число:

$5 \cdot 12 + 6 = 60 + 6 = 66$

Также можно применить формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний, а $\text{n}$ — количество членов.

$S_{11} = \frac{(1+11) \cdot 11}{2} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 6 \cdot 11 = 66$

Возвращаем знак минус, который мы вынесли в начале:

$-(66) = -66$

Ответ: -66

2) 1 ⋅ (-2) + 2 ⋅ (-2) + 3 ⋅ (-2) + 4 ⋅ (-2) + 5 ⋅ (-2) + 6 ⋅ (-2)

В этом выражении у каждого слагаемого есть общий множитель $(-2)$. Способ Гаусса здесь применяется в более общем смысле — найти рациональный путь вычисления. Вынесем общий множитель за скобки, используя распределительный закон умножения:

$1 \cdot (-2) + 2 \cdot (-2) + 3 \cdot (-2) + 4 \cdot (-2) + 5 \cdot (-2) + 6 \cdot (-2) = (1+2+3+4+5+6) \cdot (-2)$

Теперь вычислим сумму в скобках (от 1 до 6), используя классический метод Гаусса. В последовательности 6 чисел, что позволяет составить 3 пары.

Сгруппируем числа парами:

$(1+6) + (2+5) + (3+4)$

Сумма каждой пары равна 7. Всего у нас 3 пары. Общая сумма в скобках равна:

$3 \cdot 7 = 21$

Теперь умножим полученную сумму на общий множитель $(-2)$:

$21 \cdot (-2) = -42$

Ответ: -42

3) 6 : (-3) + 9 : (-3) + 12 : (-3) + 15 : (-3) + 18 : (-3) + 21 : (-3)

В этом выражении у каждого слагаемого есть общий делитель $(-3)$. Как и в предыдущем примере, применим идею рационализации вычислений, вынеся общую операцию за скобки на основе распределительного закона.

$(6+9+12+15+18+21) : (-3)$

Сначала вычислим сумму в скобках. Это сумма членов арифметической прогрессии. Применим для этого метод Гаусса. В последовательности 6 чисел.

Сгруппируем числа парами (первое с последним, второе с предпоследним и т.д.):

$(6+21) + (9+18) + (12+15)$

Сумма каждой пары равна 27. Всего у нас 3 пары. Общая сумма в скобках равна:

$3 \cdot 27 = 81$

Теперь разделим полученную сумму на общий делитель $(-3)$:

$81 : (-3) = -27$

Ответ: -27