Номер 3, страница 35, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. Какие верные неравенства можно умножать почленно?

Почленно можно умножать верные неравенства одного знака, у которых все части (левые и правые) являются положительными числами.

Формулировка правила (теоремы)

Если даны два верных неравенства $a > b$ и $c > d$, и при этом все числа $a, b, c, d$ положительны (то есть $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$), то при их почленном умножении получится верное неравенство того же знака:

$ac > bd$

Это правило справедливо и для знаков $<$, $\ge$, $\le$ и для любого количества таких неравенств.

Доказательство (обоснование)

Докажем это свойство. Возьмем неравенство $a > b$. Так как по условию $\text{c}$ — положительное число ($c > 0$), мы можем умножить обе части неравенства $a > b$ на $\text{c}$, сохранив знак неравенства:

$ac > bc$

Теперь возьмем второе неравенство $c > d$. Так как по условию $\text{b}$ — положительное число ($b > 0$), мы можем умножить обе части неравенства $c > d$ на $\text{b}$, сохранив знак:

$bc > bd$

Теперь у нас есть два неравенства: $ac > bc$ и $bc > bd$. Используя свойство транзитивности, мы можем объединить их в одно:

$ac > bc > bd$

Отсюда следует, что $ac > bd$, что и требовалось доказать.

Пример 1: Корректное применение

Рассмотрим два верных неравенства:

$5 > 3$

$8 > 2$

Все части этих неравенств ($5, 3, 8, 2$) — положительные числа. Знаки у неравенств одинаковые ($>$). Следовательно, мы можем их перемножить почленно.

Умножаем левые части: $5 \cdot 8 = 40$.

Умножаем правые части: $3 \cdot 2 = 6$.

Получаем новое неравенство: $40 > 6$. Это верное неравенство.

Почему нельзя умножать неравенства с отрицательными частями?

Рассмотрим контрпримеры, которые показывают, почему условие положительности всех частей является обязательным.

Пример 2: Нарушение правила

Возьмем два верных неравенства:

$7 > 2$

$-3 > -5$

Хотя оба неравенства верны и имеют одинаковый знак, второе неравенство содержит отрицательные части. Попробуем их перемножить почленно:

$7 \cdot (-3)$ и $2 \cdot (-5)$

$-21$ и $-10$

Если бы мы сохранили знак $>$, то получили бы $-21 > -10$, что является неверным, так как в действительности $-21 < -10$. Этот пример показывает, что прямое применение правила умножения без учета знака частей неравенства приводит к ошибке.

Можно ли умножать неравенства разных знаков?

Нет, почленное умножение неравенств разных знаков не является корректной операцией, так как результат непредсказуем.

Пример 3: Неравенства разных знаков

Рассмотрим верные неравенства:

$5 > 3$

$2 < 4$

Почленное умножение дает: $5 \cdot 2 = 10$ и $3 \cdot 4 = 12$. Сравнивая результаты, получаем $10 < 12$. Знак итогового неравенства не совпадает ни с одним из исходных и может меняться в зависимости от чисел. Поэтому такая операция не имеет общего смысла.

Ответ: Почленно можно умножать только верные неравенства одного знака, все части которых (левые и правые) являются положительными числами. В результате такой операции получается верное неравенство того же знака.