Номер 3, страница 82, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. Как найти расстояние от точки до прямой?

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Способ нахождения этого расстояния зависит от того, рассматривается ли задача на плоскости (в двумерном пространстве) или в пространстве (в трехмерном).

Рассмотрим случай, когда точка и прямая заданы на координатной плоскости. Существует стандартная формула для вычисления этого расстояния.

Пусть дана точка $M(x_0, y_0)$ и прямая $\text{l}$, заданная общим уравнением $Ax + By + C = 0$.

Тогда расстояние $\text{d}$ от точки $\text{M}$ до прямой $\text{l}$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Как работает эта формула:

1. В числителе $|Ax_0 + By_0 + C|$ мы подставляем координаты точки $(x_0, y_0)$ в левую часть уравнения прямой. Модуль этого выражения показывает, насколько "далеко" точка от прямой.

2. В знаменателе $\sqrt{A^2 + B^2}$ находится длина нормального вектора прямой $\vec{n} = \{A, B\}$, который перпендикулярен этой прямой. Деление на эту величину нормализует результат, давая именно перпендикулярное расстояние.

Пример:

Найти расстояние от точки $M(3, -1)$ до прямой $3x - 4y - 1 = 0$.

Здесь $x_0 = 3$, $y_0 = -1$, $A = 3$, $B = -4$, $C = -1$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|3 \cdot 3 - 4 \cdot (-1) - 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|9 + 4 - 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|12|}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5} = 2.4$

Ответ: Расстояние равно 2.4.

Ответ: Расстояние $\text{d}$ от точки $M(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ находится по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

В трехмерном пространстве прямую чаще всего задают каноническим или параметрическим уравнением. Это означает, что нам известна точка, через которую проходит прямая, и ее направляющий вектор.

Пусть дана точка $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и прямая $\text{l}$, проходящая через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и имеющая направляющий вектор $\vec{s} = \{l, m, n\}$.

Расстояние $\text{d}$ от точки $M_1$ до прямой $\text{l}$ можно найти с помощью векторного произведения. Геометрически это расстояние является высотой параллелограмма, построенного на векторах $\vec{s}$ и $\vec{M_0M_1}$.

Вектор, соединяющий точку на прямой и данную точку, равен $\vec{M_0M_1} = \{x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0\}$.

Формула для расстояния имеет вид:

$d = \frac{|\vec{s} \times \vec{M_0M_1}|}{|\vec{s}|}$

Как работает эта формула:

1. В числителе $|\vec{s} \times \vec{M_0M_1}|$ вычисляется модуль векторного произведения направляющего вектора прямой $\vec{s}$ и вектора $\vec{M_0M_1}$. Этот модуль равен площади параллелограмма, построенного на этих двух векторах.

2. В знаменателе $|\vec{s}|$ вычисляется длина направляющего вектора, которая является основанием этого параллелограмма.

3. Деление площади параллелограмма на длину его основания дает высоту, которая и является искомым расстоянием от точки до прямой.

Пример:

Найти расстояние от точки $M_1(1, 2, 3)$ до прямой, проходящей через точку $M_0(0, 1, 1)$ с направляющим вектором $\vec{s} = \{2, 1, 2\}$.

1. Найдем вектор $\vec{M_0M_1}$:

$\vec{M_0M_1} = \{1 - 0, 2 - 1, 3 - 1\} = \{1, 1, 2\}$

2. Найдем векторное произведение $\vec{s} \times \vec{M_0M_1}$:

$\vec{s} \times \vec{M_0M_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 2 - 2 \cdot 1) - \vec{j}(2 \cdot 2 - 2 \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 0\vec{i} - 2\vec{j} + 1\vec{k} = \{0, -2, 1\}$

3. Найдем модуль векторного произведения:

$|\vec{s} \times \vec{M_0M_1}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

4. Найдем модуль направляющего вектора:

$|\vec{s}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

5. Вычислим расстояние:

$d = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Ответ: Расстояние равно $\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Ответ: Расстояние $\text{d}$ от точки $M_1$ до прямой, проходящей через точку $M_0$ с направляющим вектором $\vec{s}$, находится по формуле $d = \frac{|\vec{s} \times \vec{M_0M_1}|}{|\vec{s}|}$.