Номер 10, страница 7 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Делители и кратные. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 10, страница 7.

Условие.

10. Известно, что каждое из чисел $a$ и $b$ не делится нацело на 3. Верно ли, что их сумма также не делится нацело на 3?

Решение.

Решение 2.

Нет, это утверждение неверно.

Для того чтобы доказать, что утверждение неверно, достаточно привести хотя бы один пример (контрпример), в котором условия выполняются, а заключение — нет.

По условию, каждое из чисел $a$ и $b$ не делится нацело на 3. Это означает, что при делении на 3 они могут давать в остатке 1 или 2. Рассмотрим все возможные случаи для остатков.

Случай 1: Оба числа при делении на 3 дают в остатке 1.
Тогда числа можно представить в виде $a = 3k + 1$ и $b = 3m + 1$, где $k$ и $m$ — целые числа.Их сумма: $a + b = (3k + 1) + (3m + 1) = 3k + 3m + 2 = 3(k + m) + 2$.При делении на 3 сумма $a+b$ дает в остатке 2, то есть не делится на 3.

Случай 2: Оба числа при делении на 3 дают в остатке 2.
Тогда числа можно представить в виде $a = 3k + 2$ и $b = 3m + 2$.Их сумма: $a + b = (3k + 2) + (3m + 2) = 3k + 3m + 4 = 3(k + m + 1) + 1$.При делении на 3 сумма $a+b$ дает в остатке 1, то есть не делится на 3.

Случай 3: Одно число при делении на 3 дает в остатке 1, а другое — 2.
Пусть $a = 3k + 1$ и $b = 3m + 2$.Их сумма: $a + b = (3k + 1) + (3m + 2) = 3k + 3m + 3 = 3(k + m + 1)$.В этом случае сумма $a+b$ делится на 3 нацело.

Поскольку мы нашли случай, когда сумма двух чисел, не делящихся на 3, делится на 3, исходное утверждение неверно. Приведем конкретный контрпример.

Пусть $a = 4$. Число 4 не делится на 3 (остаток от деления равен 1).
Пусть $b = 5$. Число 5 не делится на 3 (остаток от деления равен 2).
Найдем их сумму: $a + b = 4 + 5 = 9$.
Число 9 делится нацело на 3, так как $9 = 3 \cdot 3$.

Таким образом, мы нашли пример, когда два числа не делятся на 3, а их сумма делится на 3.

Ответ: нет, неверно.