Номер 12, страница 7 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Делители и кратные. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 12, страница 7.

Условие.

12. Запишите все числа, являющиеся делителями каждого из чисел:

1) 12 и 18;

2) 60 и 90;

3) 22 и 35;

4) 9 и 27.

Решение.

Решение 2.

1) 12 и 18;

Чтобы найти все числа, являющиеся делителями каждого из чисел 12 и 18, нужно найти их общие делители. Самый эффективный способ — найти наибольший общий делитель (НОД) этих чисел, а затем выписать все делители полученного НОД.

Разложим числа 12 и 18 на простые множители:
$12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$

Для нахождения НОД нужно взять общие простые множители ($2$ и $3$) в наименьшей степени, в которой они встречаются в разложениях:
НОД(12, 18) = $2^1 \cdot 3^1 = 6$.

Теперь выпишем все делители числа 6. Это и будут все общие делители для 12 и 18.
Делители 6: 1, 2, 3, 6.

Ответ: 1, 2, 3, 6.

2) 60 и 90;

Найдем все общие делители для чисел 60 и 90. Для этого найдем их НОД и все его делители.

Разложим числа 60 и 90 на простые множители:
$60 = 6 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
$90 = 9 \cdot 10 = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$

Возьмем общие простые множители ($2$, $3$ и $5$) в наименьших степенях:
НОД(60, 90) = $2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 30$.

Теперь найдем все делители числа 30. Это и есть все общие делители чисел 60 и 90.
Делители 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Ответ: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

3) 22 и 35;

Найдем все общие делители чисел 22 и 35.

Разложим числа на простые множители:
$22 = 2 \cdot 11$
$35 = 5 \cdot 7$

Как видно из разложений, у чисел 22 и 35 нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми, и их наибольший общий делитель равен 1.
НОД(22, 35) = 1.

Единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1. Следовательно, у 22 и 35 только один общий делитель.

Ответ: 1.

4) 9 и 27;

Найдем все общие делители чисел 9 и 27. В этом случае можно заметить, что число 27 делится на 9 без остатка ($27 = 9 \cdot 3$). Это значит, что любой делитель числа 9 будет также и делителем числа 27. Поэтому все общие делители этих чисел — это просто все делители меньшего числа, то есть 9.

Найдем все делители числа 9:
$9 \div 1 = 9$
$9 \div 3 = 3$
Делители 9: 1, 3, 9.

Этот же результат мы получим, если найдем НОД(9, 27). Поскольку $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$, то НОД(9, 27) = $3^2 = 9$. Делители числа 9 и являются общими делителями.

Ответ: 1, 3, 9.