Номер 9, страница 7 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Делители и кратные. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 9, страница 7.

Условие.

9. Известно, что сумма натуральных чисел $a$ и $b$ делится нацело на 5.

Верно ли, что:

1) каждое из чисел $a$ и $b$ делится нацело на 5;

2) одно из чисел делится нацело на 5, а другое – нет?

Ответ проиллюстрируйте примерами.

Решение.

Решение 2.

По условию задачи, сумма натуральных чисел $a$ и $b$ делится нацело на 5. Это означает, что $(a+b)$ является кратным 5.

1) каждое из чисел $a$ и $b$ делится нацело на 5;

Это утверждение не всегда является верным. Оно описывает лишь один из возможных случаев, но не единственный. Чтобы показать, что утверждение в общем случае ложно, достаточно привести контрпример, то есть пример, где условие задачи $(a+b \text{ делится на } 5)$ выполняется, а утверждение (каждое из чисел делится на 5) — нет.
Например, возьмем числа $a=3$ и $b=7$.
Ни $a=3$, ни $b=7$ не делятся нацело на 5.
Однако их сумма $a+b = 3+7=10$. Число 10 делится нацело на 5.
Поскольку мы нашли пару чисел, для которой условие задачи выполняется, а утверждение — нет, данное утверждение не является верным для всех случаев.
Ответ: неверно.

2) одно из чисел делится нацело на 5, а другое – нет?

Это утверждение также неверно. Докажем это от противного. Предположим, что одно из чисел, например $a$, делится на 5, а другое число, $b$, не делится на 5.
Если $a$ делится на 5, то его можно представить в виде $a=5k$, где $k$ — натуральное число.
Если $b$ не делится на 5, то при делении на 5 оно дает ненулевой остаток. То есть, $b=5m+r$, где $m$ — целое неотрицательное число, а $r$ — остаток, который может быть равен 1, 2, 3 или 4 ($r \in \{1, 2, 3, 4\}$).
Теперь найдем их сумму:
$a+b = 5k + (5m+r) = 5(k+m) + r$
Из полученного выражения видно, что сумма $a+b$ при делении на 5 дает остаток $r$. Поскольку $r$ не равно нулю, сумма $a+b$ не делится нацело на 5. Это противоречит исходному условию задачи.
Проиллюстрируем на примере. Пусть $a=15$ (делится на 5) и $b=4$ (не делится на 5). Их сумма $a+b=15+4=19$. Число 19 не делится на 5.
Следовательно, ситуация, когда одно число делится на 5, а другое — нет, невозможна при заданном условии.
Ответ: неверно.