Номер 1063, страница 226 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 37. Умножение рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1063, страница 226.

Условие.

1063. В Российской футбольной премьер-лиге принимают участие 16 команд. Докажите, что в любой момент чемпионата есть две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей. (Команды, не сыгравшие ни одного матча, считают сыгравшими одинаковое количество матчей.)

Решение.

Решение 2.

Для доказательства этого утверждения применим метод от противного, который в данном случае иллюстрирует принцип Дирихле.

В чемпионате участвует 16 команд. Каждая команда может сыграть с $16 - 1 = 15$ другими командами. Следовательно, в любой момент чемпионата количество матчей, сыгранных какой-либо командой, может быть любым целым числом от 0 до 15. Таким образом, у нас есть 16 возможных значений для количества сыгранных матчей: $\{0, 1, 2, \dots, 15\}$.

Предположим, что утверждение неверно, и в некий момент чемпионата все 16 команд сыграли разное количество матчей.

Поскольку у нас 16 команд и 16 возможных значений для количества сыгранных матчей (от 0 до 15), наше предположение означает, что на каждую команду приходится ровно одно уникальное значение из этого набора. То есть в лиге есть команда, сыгравшая 0 матчей, команда, сыгравшая 1 матч, ..., и команда, сыгравшая 15 матчей.

Рассмотрим две крайние ситуации из этого предположения:

1. Существует команда (назовем ее А), которая сыграла 15 матчей. Поскольку в лиге всего 15 других команд, это означает, что команда А сыграла со всеми остальными командами.

2. Существует команда (назовем ее Б), которая сыграла 0 матчей. Это означает, что команда Б не играла ни с одной другой командой.

Эти два утверждения противоречат друг другу. Если команда А сыграла со всеми, то она должна была сыграть и с командой Б. Но команда Б не играла ни с кем, а значит, не могла играть с командой А. Так как футбольный матч — это событие, в котором участвуют две команды, невозможно, чтобы одна команда в нем участвовала, а другая — нет.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Невозможно, чтобы все 16 команд сыграли разное количество матчей. Следовательно, по крайней мере две команды должны были сыграть одинаковое количество матчей.

Ответ: Утверждение доказано. В любой момент чемпионата всегда найдутся две команды, которые сыграли одинаковое количество матчей.