Номер 1083, страница 231 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 38. Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел. Коэффициент. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1083, страница 231.

Условие.

1083. Четыре мальчика соревновались в нескольких (более одного) видах спорта. В каждом из видов спорта за одно и то же место начислялось одинаковое количество баллов (выраженных натуральным числом), причём каждое из мест (1-е, 2-е, 3-е, 4-е) мог занять только один из участников. В конце этих соревнований выяснилось, что мальчики получили 16, 14, 13 и 12 баллов соответственно. Выясните, в скольких видах спорта они соревновались.

Решение.

Решение 2.

Пусть $N$ — количество видов спорта, в которых соревновались мальчики. По условию, $N > 1$ и $N$ — целое число.

Пусть $p_1, p_2, p_3, p_4$ — количество баллов, начисляемых за 1-е, 2-е, 3-е и 4-е места соответственно. По условию, это натуральные числа. Логично предположить, что за более высокое место дают больше баллов, то есть $p_1 > p_2 > p_3 > p_4 \ge 1$. Так как баллы — различные натуральные числа, минимально возможные значения для них будут 1, 2, 3 и 4.

Найдем общую сумму баллов, полученную всеми четырьмя мальчиками:

$16 + 14 + 13 + 12 = 55$ баллов.

С другой стороны, эта общая сумма баллов равна сумме баллов, разыгрываемых в одном виде спорта, умноженной на количество видов спорта.

Пусть $S$ — сумма баллов, разыгрываемых в одном виде спорта:

$S = p_1 + p_2 + p_3 + p_4$

Тогда общая сумма всех баллов равна $N \times S$.

$N \times S = 55$

Поскольку $N$ и $S$ — натуральные числа, они должны быть делителями числа 55. Делители числа 55: 1, 5, 11, 55.По условию, соревнований было больше одного, значит $N > 1$. Рассмотрим возможные значения для $N$:

1. $N = 5$, тогда $S = 11$.
2. $N = 11$, тогда $S = 5$.
3. $N = 55$, тогда $S = 1$.

Теперь проанализируем каждое из этих предположений.

Сумма баллов $S$ является суммой четырех различных натуральных чисел $p_1 > p_2 > p_3 > p_4 \ge 1$. Найдем минимально возможную сумму $S$:

$S_{min} = 4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Таким образом, сумма баллов за один вид спорта не может быть меньше 10, то есть $S \ge 10$.

Рассмотрим наши случаи с учетом этого условия:

• Случай, когда $N = 11$ и $S = 5$. Это невозможно, так как $S=5 < 10$.
• Случай, когда $N = 55$ и $S = 1$. Это также невозможно, так как $S=1 < 10$.
• Случай, когда $N = 5$ и $S = 11$. Это единственная возможность, так как $S=11 \ge 10$.

Таким образом, мальчики соревновались в 5 видах спорта. Убедимся, что такая ситуация возможна. Нам нужно найти четыре различных натуральных числа, сумма которых равна 11. Единственная такая комбинация — это 5, 3, 2, 1. То есть $p_1 = 5, p_2 = 3, p_3 = 2, p_4 = 1$.

Теперь проверим, можно ли с такой системой баллов за 5 соревнований получить итоговые очки 16, 14, 13 и 12. Например, распределение мест могло быть следующим:

• Мальчик 1 (16 баллов): два 1-х места, одно 2-е, одно 3-е, одно 4-е ($2 \times 5 + 1 \times 3 + 1 \times 2 + 1 \times 1 = 10 + 3 + 2 + 1 = 16$).
• Мальчик 2 (14 баллов): два 1-х места, одно 3-е, два 4-х ($2 \times 5 + 0 \times 3 + 1 \times 2 + 2 \times 1 = 10 + 2 + 2 = 14$).
• Мальчик 3 (13 баллов): одно 1-е место, два 2-х, два 4-х ($1 \times 5 + 2 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1 = 5 + 6 + 2 = 13$).
• Мальчик 4 (12 баллов): ноль 1-х мест, два 2-х, три 3-х ($0 \times 5 + 2 \times 3 + 3 \times 2 + 0 \times 1 = 6 + 6 = 12$).

Такое распределение возможно, так как в сумме по всем мальчикам было занято ровно пять 1-х, пять 2-х, пять 3-х и пять 4-х мест, что соответствует 5 видам спорта.

Следовательно, единственно возможный вариант — 5 видов спорта.

Ответ: 5.