Номер 1078, страница 231 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 38. Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел. Коэффициент. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1078, страница 231.

Условие.

1078. Представьте в виде суммы двух дробей с числителем 1 дробь:

1) $\frac{5}{6}$;

2) $\frac{7}{12}$;

3) $\frac{9}{20}$;

4) $\frac{4}{9}$;

5) $\frac{1}{2}$.

Решение.

Решение 2.

1)

Требуется представить дробь $ \frac{5}{6} $ в виде суммы двух дробей с числителем 1. Это значит, что нужно найти такие натуральные числа $x$ и $y$, что $ \frac{5}{6} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $.

Один из способов решения — это разложить числитель (5) на сумму двух слагаемых, которые являются делителями знаменателя (6). Делители числа 6: 1, 2, 3, 6.

Заметим, что $5 = 2 + 3$. Представим дробь в следующем виде:

$ \frac{5}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} $

Теперь сократим полученные дроби:

$ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

$ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

Таким образом, мы получили искомую сумму:

$ \frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} $

2)

Необходимо представить дробь $ \frac{7}{12} $ в виде суммы $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $.

Разложим числитель (7) на сумму двух слагаемых, являющихся делителями знаменателя (12). Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Заметим, что $7 = 3 + 4$. Представим дробь в виде суммы:

$ \frac{7}{12} = \frac{3+4}{12} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} $

Сократим полученные дроби:

$ \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $

$ \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $

Следовательно, искомое представление:

$ \frac{7}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} $

Ответ: $ \frac{7}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} $

3)

Необходимо представить дробь $ \frac{9}{20} $ в виде суммы $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $.

Разложим числитель (9) на сумму двух слагаемых, являющихся делителями знаменателя (20). Делители числа 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Заметим, что $9 = 4 + 5$. Представим дробь в виде суммы:

$ \frac{9}{20} = \frac{4+5}{20} = \frac{4}{20} + \frac{5}{20} $

Сократим полученные дроби:

$ \frac{4}{20} = \frac{1}{5} $

$ \frac{5}{20} = \frac{1}{4} $

Таким образом, получаем:

$ \frac{9}{20} = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} $

Ответ: $ \frac{9}{20} = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} $

4)

Необходимо представить дробь $ \frac{4}{9} $ в виде суммы $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $.

Разложим числитель (4) на сумму двух слагаемых, являющихся делителями знаменателя (9). Делители числа 9: 1, 3, 9.

Заметим, что $4 = 1 + 3$. Представим дробь в виде суммы:

$ \frac{4}{9} = \frac{1+3}{9} = \frac{1}{9} + \frac{3}{9} $

Сократим вторую дробь:

$ \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $

В результате получаем:

$ \frac{4}{9} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} $

Ответ: $ \frac{4}{9} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} $

5)

Необходимо представить дробь $ \frac{1}{2} $ в виде суммы $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $.

В этом случае числитель равен 1, и его нельзя разложить на сумму двух натуральных чисел, которые являются делителями знаменателя 2. Поэтому сначала представим дробь $ \frac{1}{2} $ в другом виде, умножив числитель и знаменатель на подходящее число. Попробуем умножить на 3:

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} $

Теперь для дроби $ \frac{3}{6} $ применим тот же метод. Разложим числитель (3) на сумму двух слагаемых, которые являются делителями знаменателя (6). Делители числа 6: 1, 2, 3, 6.

Заметим, что $3 = 1 + 2$. Представим дробь $ \frac{3}{6} $ в виде суммы:

$ \frac{3}{6} = \frac{1+2}{6} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} $

Сократим вторую дробь:

$ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

Таким образом, мы нашли искомую сумму:

$ \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} $

Ответ: $ \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} $