Номер 1218, страница 253 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 42. Решение задач с помощью уравнений. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1218, страница 253.

Условие.

1218. Существуют ли 1 005 натуральных чисел (не обязательно разных), сумма которых равна их произведению?

Решение.

Решение 2.

Да, такие числа существуют. Мы можем привести конкретный пример такого набора чисел и проверить, что он удовлетворяет условию.

Пусть искомые 1005 натуральных чисел — это $a_1, a_2, \ldots, a_{1005}$. Согласно условию задачи, их сумма должна быть равна их произведению:

$$a_1 + a_2 + \ldots + a_{1005} = a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{1005}$$

Для нахождения такого набора чисел воспользуемся следующим приёмом: выберем большинство чисел равными единице. Это позволит нам упростить уравнение, так как умножение на 1 не изменяет произведение, в то время как сложение единиц увеличивает сумму.

Предположим, что $1003$ из этих чисел равны $1$. Оставшиеся два числа обозначим как $x$ и $y$. Будем искать $x$ и $y$ среди натуральных чисел, больших 1.

Итак, наш набор чисел: $\{x, y, \underbrace{1, 1, \ldots, 1}_{1003}\}$.

Сумма этих чисел равна:

$$S = x + y + \underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{1003} = x + y + 1003$$

Произведение этих чисел равно:

$$P = x \cdot y \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1}_{1003} = xy$$

Приравнивая сумму к произведению, получаем уравнение:

$$x + y + 1003 = xy$$

Решим это уравнение в натуральных числах. Перенесём члены, содержащие переменные, в правую часть:

$$xy - x - y = 1003$$

Применим стандартный приём для решения таких уравнений — разложение на множители. Для этого прибавим 1 к обеим частям уравнения:

$$xy - x - y + 1 = 1003 + 1$$

$$x(y - 1) - (y - 1) = 1004$$

$$(x - 1)(y - 1) = 1004$$

Поскольку мы ищем $x > 1$ и $y > 1$, то $x-1$ и $y-1$ должны быть натуральными числами. Нам нужно найти два натуральных числа, произведение которых равно 1004. Существует много таких пар, но нам достаточно найти хотя бы одну. Возьмём простейший случай:

Пусть $x - 1 = 1$ и $y - 1 = 1004$.

Тогда:

$$x = 1 + 1 = 2$$

$$y = 1004 + 1 = 1005$$

Мы нашли два числа: 2 и 1005. Таким образом, искомый набор из 1005 натуральных чисел может быть таким: одно число 2, одно число 1005 и 1003 числа, равных 1.

Проверим, удовлетворяет ли этот набор условиям задачи:

• Общее количество чисел: $1 + 1 + 1003 = 1005$.
• Все числа являются натуральными.
• Сумма чисел: $S = 2 + 1005 + 1003 \cdot 1 = 1007 + 1003 = 2010$.
• Произведение чисел: $P = 2 \cdot 1005 \cdot 1^{1003} = 2010$.

Сумма чисел равна их произведению ($2010 = 2010$), следовательно, такой набор чисел существует.

Ответ: Да, существуют.