Номер 186, страница 40 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Наименьшее общее кратное. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 186, страница 40.

Условие.

186. На чудо-дереве садовник вырастил 85 бананов и 70 апельсинов. Каждый день он срывает два плода, и сразу на дереве вырастает один новый. Если садовник срывает два одинаковых фрукта, то вырастает апельсин, а если два разных — то банан. Каким окажется последний фрукт на этом дереве?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи проанализируем, как меняется количество фруктов каждого вида после действий садовника. Ключевым моментом будет поиск инварианта — величины, которая либо не меняется, либо меняет своё свойство (например, чётность) предсказуемым образом.

Пусть $B$ — количество бананов, а $A$ — количество апельсинов. Исходные данные: $B = 85$, $A = 70$.

Каждый день общее количество фруктов на дереве уменьшается на один, так как садовник срывает два, а вырастает один. Процесс будет продолжаться до тех пор, пока на дереве не останется ровно один фрукт.

Рассмотрим три возможных сценария действий садовника и их влияние на количество бананов:

1. Срывают два одинаковых фрукта (два банана). В этом случае количество бананов уменьшается на 2 ($B \rightarrow B - 2$), а взамен вырастает апельсин.
2. Срывают два одинаковых фрукта (два апельсина). В этом случае количество бананов не меняется ($B \rightarrow B$), а взамен вырастает апельсин.
3. Срывают два разных фрукта (банан и апельсин). В этом случае количество бананов сначала уменьшается на 1, но потом вырастает новый банан ($B \rightarrow B - 1 + 1 = B$). Итоговое количество бананов не меняется.

Теперь обратим внимание на чётность количества бананов:

• В первом случае количество бананов изменяется на 2. Если число было нечётным, оно останется нечётным (например, $85 \rightarrow 83$). Если было чётным, останется чётным. Чётность не меняется.
• Во втором и третьем случаях количество бананов вообще не меняется, следовательно, его чётность тоже сохраняется.

Мы приходим к важному выводу: какое бы действие ни совершил садовник, чётность количества бананов на дереве всегда остаётся неизменной.

В самом начале на дереве было 85 бананов. Число 85 является нечётным. Это означает, что на протяжении всего процесса, до самого последнего шага, количество бананов на дереве всегда будет нечётным числом.

Процесс завершится, когда на дереве останется один фрукт. Есть две возможности:

1. Последний фрукт — это апельсин. Тогда количество бананов на дереве равно 0. Но 0 — это чётное число. Это противоречит нашему выводу, что количество бананов всегда должно быть нечётным. Следовательно, этот вариант невозможен.

2. Последний фрукт — это банан. Тогда количество бананов на дереве равно 1. Число 1 — нечётное, что полностью согласуется с нашим выводом.

Таким образом, единственно возможный результат — последним фруктом на дереве окажется банан.

Ответ: Банан.