Номер 11, страница 161 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 26. Цилиндр, конус, шар. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 11, страница 161.

Условие.

11. Какая фигура является сечением шара?

Решение.

Решение 2.

Сечением шара плоскостью всегда является круг.

Шар — это геометрическое тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся от заданной точки (центра) на расстоянии, не превышающем заданное расстояние (радиус). Когда плоскость пересекает шар, в месте пересечения образуется плоская фигура.

Чтобы понять, почему этой фигурой является именно круг, рассмотрим шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть секущая плоскость $\alpha$ находится на расстоянии $d$ от центра шара.

• Случай 1: Плоскость проходит через центр шара.
  В этом случае расстояние от центра до плоскости равно нулю ($d=0$). Все точки на пересечении будут находиться на расстоянии, равном радиусу шара $R$, от центра сечения, который совпадает с центром шара. Такое сечение называется большим кругом и является максимально возможным по площади.
• Случай 2: Плоскость пересекает шар, но не проходит через его центр.
  В этом случае расстояние $d$ больше нуля, но меньше радиуса шара ($0 < d < R$). Сечением также будет круг, но его радиус $r$ будет меньше радиуса шара $R$. Этот радиус можно найти с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, где гипотенузой является радиус шара $R$, а катетами — расстояние от центра шара до плоскости $d$ и радиус сечения $r$. Таким образом, выполняется соотношение: $R^2 = d^2 + r^2$. Отсюда радиус сечения равен $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.
• Случай 3: Плоскость касается шара.
  В этом случае плоскость находится на расстоянии, равном радиусу шара ($d=R$). У плоскости и шара будет только одна общая точка. Эту точку можно рассматривать как вырожденный случай круга, радиус которого равен нулю ($r=0$).

Таким образом, при любом пересечении шара плоскостью в сечении образуется круг (включая точку как частный случай).

Ответ: Круг.