Номер 29, страница 8 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Делители и кратные. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 29, страница 8.

Условие.

29. Докажите, что:

1) двузначное число, записанное двумя одинаковыми цифрами, кратно 11;

2) трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, кратно 37.

Решение.

Решение 2.

1) двузначное число, записанное двумя одинаковыми цифрами, кратно 11;

Пусть дано двузначное число, записанное двумя одинаковыми цифрами. Обозначим эту цифру как $a$. Так как число является двузначным, то $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Такое число можно записать в виде $\overline{aa}$. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых:

$\overline{aa} = 10 \cdot a + 1 \cdot a$

Упростим полученное выражение, вынеся общий множитель $a$ за скобки:

$10a + a = a \cdot (10 + 1) = 11a$

Полученное выражение $11a$ представляет собой произведение числа 11 и целого числа $a$. Согласно определению делимости, если число можно представить в виде произведения двух целых чисел, то оно делится на каждый из этих сомножителей. В нашем случае, число $\overline{aa}$ всегда можно представить как $11 \cdot a$, следовательно, оно всегда делится на 11 без остатка.

Таким образом, доказано, что любое двузначное число, записанное двумя одинаковыми цифрами, кратно 11.

Ответ: Доказано.

2) трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, кратно 37.

Пусть дано трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами. Обозначим эту цифру как $a$, где $a$ — целое число от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$).

Такое число можно записать в виде $\overline{aaa}$. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых:

$\overline{aaa} = 100 \cdot a + 10 \cdot a + 1 \cdot a$

Упростим полученное выражение:

$100a + 10a + a = a \cdot (100 + 10 + 1) = 111a$

Чтобы доказать, что число $\overline{aaa}$ кратно 37, нужно показать, что выражение $111a$ делится на 37. Это будет верно, если один из сомножителей, в данном случае 111, делится на 37.

Проверим делимость 111 на 37:

$111 \div 37 = 3$

Так как 111 делится на 37 без остатка ($111 = 3 \cdot 37$), мы можем переписать наше выражение следующим образом:

$111a = (3 \cdot 37) \cdot a = 37 \cdot (3a)$

Поскольку число $\overline{aaa}$ можно представить в виде произведения числа 37 на целое число $(3a)$, оно всегда будет кратно 37, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.