Номер 25, страница 8 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Делители и кратные. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 25, страница 8.

Условие.

25. При делении числа $a$ на 7 получили остаток 4. Какому условию должно удовлетворять число $b$, чтобы сумма $a + b$ была кратна 7?

Решение.

Решение 2.

По условию задачи, при делении числа $a$ на 7 получается остаток 4. Это можно записать в виде математического выражения. Используя теорему о делении с остатком, мы можем представить число $a$ как:

$a = 7k + 4$, где $k$ — некоторое целое число (неполное частное).

Нам необходимо, чтобы сумма $a + b$ была кратна 7. Это означает, что при делении суммы $a + b$ на 7 остаток должен быть равен 0. Запишем это условие:

$a + b = 7m$, где $m$ — некоторое целое число.

Теперь подставим выражение для $a$ в это равенство:

$(7k + 4) + b = 7m$

Выразим из этого уравнения число $b$:

$b = 7m - 7k - 4$

Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель 7:

$b = 7(m - k) - 4$

Чтобы найти остаток от деления $b$ на 7, представим $b$ в стандартной форме деления с остатком ($b = 7q + r$, где $0 \le r < 7$). Для этого преобразуем полученное выражение, прибавив и отняв 7:

$b = 7(m - k) - 7 + 7 - 4$

$b = 7(m - k - 1) + 3$

Обозначим целое число $(m - k - 1)$ как $q$. Тогда получим:

$b = 7q + 3$

Это равенство означает, что число $b$ при делении на 7 дает остаток 3.

Альтернативное решение с использованием сравнений по модулю:

Условие "при делении числа $a$ на 7 получили остаток 4" можно записать как сравнение:

$a \equiv 4 \pmod{7}$

Условие "сумма $a + b$ кратна 7" можно записать как:

$a + b \equiv 0 \pmod{7}$

Подставим первое сравнение во второе:

$4 + b \equiv 0 \pmod{7}$

Чтобы найти $b$, вычтем 4 из обеих частей сравнения:

$b \equiv -4 \pmod{7}$

Поскольку остаток должен быть неотрицательным, найдем эквивалентное положительное значение, прибавив модуль 7:

$b \equiv -4 + 7 \pmod{7}$

$b \equiv 3 \pmod{7}$

Это означает, что число $b$ при делении на 7 должно давать в остатке 3.

Ответ: число $b$ при делении на 7 должно давать в остатке 3.