Номер 23, страница 8 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Делители и кратные. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 23, страница 8.

Условие.

23. Верно ли утверждение:

1) если число $a$ кратно 6, то оно кратно 3;

2) если число $a$ кратно 3, то оно кратно 6;

3) если число $a$ кратно числам 3 и 4, то оно кратно 12;

4) если число $a$ кратно числам 4 и 6, то оно кратно 24?

Ответ проиллюстрируйте примерами.

Решение.

Решение 2.

1) если число a кратно 6, то оно кратно 3;

Утверждение верно.
Если число $a$ кратно 6, это означает, что его можно представить в виде $a = 6 \cdot k$, где $k$ – целое число.
Поскольку $6 = 3 \cdot 2$, то равенство можно переписать как $a = (3 \cdot 2) \cdot k = 3 \cdot (2k)$.
Так как $2k$ является целым числом, то число $a$ делится на 3 без остатка, то есть кратно 3.
Пример: число 18 кратно 6 ($18 = 6 \cdot 3$). Это же число кратно 3 ($18 = 3 \cdot 6$).

Ответ: утверждение верно.

2) если число a кратно 3, то оно кратно 6;

Утверждение неверно.
Число, кратное 6, должно быть кратно и 3, и 2 (то есть быть четным). Если число $a$ кратно 3, это не гарантирует, что оно также кратно 2.
Пример: число 9 кратно 3 ($9 = 3 \cdot 3$), но оно не кратно 6, так как 9 не делится на 6 без остатка ($9 \div 6 = 1.5$).

Ответ: утверждение неверно.

3) если число a кратно числам 3 и 4, то оно кратно 12;

Утверждение верно.
Если число $a$ кратно числам 3 и 4, то оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК).
Числа 3 и 4 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1). Для взаимно простых чисел НОК равен их произведению.
НОК(3, 4) = $3 \cdot 4 = 12$.
Следовательно, если число кратно и 3, и 4, оно обязательно кратно 12.
Пример: число 36 кратно 3 ($36 = 3 \cdot 12$) и кратно 4 ($36 = 4 \cdot 9$). Это же число кратно 12 ($36 = 12 \cdot 3$).

Ответ: утверждение верно.

4) если число a кратно числам 4 и 6, то оно кратно 24?

Утверждение неверно.
Если число $a$ кратно числам 4 и 6, оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК).
Найдем НОК(4, 6). Разложим числа на простые множители:
$4 = 2^2$
$6 = 2 \cdot 3$
НОК(4, 6) = $2^2 \cdot 3 = 12$.
Таким образом, число, кратное 4 и 6, обязательно кратно 12, но не обязательно 24. Произведение $4 \cdot 6 = 24$ не является их НОК, так как числа 4 и 6 не взаимно простые.
Пример: число 12 кратно 4 ($12 = 4 \cdot 3$) и кратно 6 ($12 = 6 \cdot 2$), но 12 не кратно 24.

Ответ: утверждение неверно.