Номер 24, страница 8 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Делители и кратные. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 24, страница 8.

Условие.

24. Найдите три натуральных числа, для которых кратным будет число:

1) 65;

2) 121.

Укажите все варианты выбора таких трёх чисел.

Решение.

Решение 2.

Задача состоит в том, чтобы найти все наборы из трёх натуральных чисел, для которых данное число является наименьшим общим кратным (НОК).

1) 65

Найдём все наборы из трёх натуральных чисел $a, b, c$, для которых $НОК(a, b, c) = 65$.

Сначала разложим число 65 на простые множители: $65 = 5 \cdot 13$.

Любое число, для которого 65 является кратным, должно быть делителем числа 65. Множество всех натуральных делителей числа 65: $D_{65} = \{1, 5, 13, 65\}$. Следовательно, числа $a, b$ и $c$ нужно выбирать из этого множества.

Для того чтобы наименьшее общее кратное трёх чисел было равно $5 \cdot 13$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Хотя бы одно из чисел $a, b, c$ должно делиться на 5.
2. Хотя бы одно из чисел $a, b, c$ должно делиться на 13.

Рассмотрим все возможные варианты, разделив их на два случая.

Случай 1: В наборе есть число 65.

Если одно из чисел равно 65, то оно делится и на 5, и на 13, поэтому оба условия выполнены. Два других числа могут быть любыми делителями числа 65. Перечислим все уникальные наборы, считая, что порядок чисел не важен (наборы представлены в виде {a, b, c} с $a \le b \le c$):

• {1, 1, 65}
• {1, 5, 65}
• {1, 13, 65}
• {1, 65, 65}
• {5, 5, 65}
• {5, 13, 65}
• {5, 65, 65}
• {13, 13, 65}
• {13, 65, 65}
• {65, 65, 65}

В этом случае получаем 10 наборов.

Случай 2: В наборе нет числа 65.

В этом случае числа $a, b, c$ выбираются из множества $\{1, 5, 13\}$. Чтобы выполнялись оба условия, в наборе обязательно должно быть число, кратное 5 (то есть 5), и число, кратное 13 (то есть 13). Значит, два из трёх чисел это 5 и 13. Третье число может быть любым из $\{1, 5, 13\}$.

• {1, 5, 13}
• {5, 5, 13}
• {5, 13, 13}

В этом случае получаем 3 набора.

Всего получается $10 + 3 = 13$ различных наборов.

Ответ: {1, 1, 65}, {1, 5, 65}, {1, 13, 65}, {1, 65, 65}, {5, 5, 65}, {5, 13, 65}, {5, 65, 65}, {13, 13, 65}, {13, 65, 65}, {65, 65, 65}, {1, 5, 13}, {5, 5, 13}, {5, 13, 13}.

2) 121

Найдём все наборы из трёх натуральных чисел $a, b, c$, для которых $НОК(a, b, c) = 121$.

Разложим число 121 на простые множители: $121 = 11^2$.

Числа $a, b$ и $c$ должны быть делителями числа 121. Множество делителей числа 121: $D_{121} = \{1, 11, 121\}$.

Для того чтобы $НОК(a, b, c) = 11^2$, необходимо, чтобы максимальная степень простого числа 11 в разложении чисел $a, b, c$ была равна 2. Это означает, что хотя бы одно из чисел $a, b, c$ должно быть равно $11^2 = 121$.

Если одно из чисел равно 121, то это условие выполнено. Два других числа могут быть любыми делителями числа 121, то есть любыми числами из множества $\{1, 11, 121\}$. Перечислим все уникальные наборы (считая, что порядок не важен):

• {1, 1, 121}
• {1, 11, 121}
• {1, 121, 121}
• {11, 11, 121}
• {11, 121, 121}
• {121, 121, 121}

Всего существует 6 таких наборов.

Ответ: {1, 1, 121}, {1, 11, 121}, {1, 121, 121}, {11, 11, 121}, {11, 121, 121}, {121, 121, 121}.