Номер 21, страница 8 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Делители и кратные. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 21, страница 8.

Условие.

21. Найдите число, кратное числам 9 и 11, которое больше 100. Сколько существует таких чисел?

Решение.

Решение 2.

Найдите число, кратное числам 9 и 11, которое больше 100.

Чтобы число было кратно одновременно 9 и 11, оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК). Числа 9 и 11 являются взаимно простыми, так как у них нет общих делителей, кроме 1. Наименьшее общее кратное для взаимно простых чисел равно их произведению.

Найдем НОК для 9 и 11:

$НОК(9, 11) = 9 \cdot 11 = 99$

Теперь нам нужно найти число, кратное 99, которое больше 100. Для этого будем умножать 99 на натуральные числа, пока не получим результат больше 100.

• $99 \cdot 1 = 99$ (это число не больше 100)
• $99 \cdot 2 = 198$ (это число больше 100)

Число 198 кратно 9 (198 / 9 = 22), кратно 11 (198 / 11 = 18) и больше 100. Таким образом, 198 является одним из искомых чисел.

Ответ: 198.

Сколько существует таких чисел?

Как мы установили, все числа, кратные 9 и 11, имеют вид $99 \cdot k$, где $k$ — натуральное число. Условию "больше 100" удовлетворяют все такие числа, для которых $k \geq 2$.

Мы можем составить бесконечную последовательность таких чисел: $99 \cdot 2 = 198$ $99 \cdot 3 = 297$ $99 \cdot 4 = 396$ и так далее.

Поскольку множество натуральных чисел $k$, где $k \ge 2$, бесконечно, то и количество чисел, кратных 9 и 11 и больших 100, также бесконечно.

Ответ: Бесконечно много.