Номер 31, страница 8 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 1. Делители и кратные. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 31, страница 8.

Условие.

31. В двузначном числе зачеркнули одну цифру, в результате чего оно уменьшилось в 17 раз. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?

Решение.

Решение 2.

Пусть искомое двузначное число можно записать в виде $10a + b$, где $a$ – это цифра десятков (целое число от 1 до 9), а $b$ – это цифра единиц (целое число от 0 до 9).

Рассмотрим два возможных случая, в зависимости от того, какая цифра была зачеркнута.

Случай 1: Зачеркнули цифру единиц

Если зачеркнуть цифру единиц $b$, то от исходного числа $10a + b$ останется число $a$. Согласно условию задачи, исходное число уменьшилось в 17 раз. Это означает, что исходное число равно новому числу, умноженному на 17. Составим уравнение:

$10a + b = 17 \cdot a$

Упростим это уравнение, чтобы выразить $b$ через $a$:

$b = 17a - 10a$

$b = 7a$

Теперь нам нужно найти такие целые значения $a$ и $b$, которые являются цифрами и удовлетворяют этому равенству. Так как $a$ — это цифра десятков, она не может быть равна нулю. Проверим возможные значения для $a$:
Если $a = 1$, то $b = 7 \cdot 1 = 7$. Это допустимое значение для цифры единиц. Исходное число в этом случае $10 \cdot 1 + 7 = 17$. Проверим условие: зачеркиваем в числе 17 цифру 7, получаем 1. Отношение $17 / 1 = 17$. Условие выполняется.
Если $a = 2$, то $b = 7 \cdot 2 = 14$. Это значение больше 9, поэтому оно не может быть цифрой. Для всех $a > 1$ значение $b$ также будет больше 9. Следовательно, в этом случае есть только одно решение.

Ответ: В числе 17 зачеркнули цифру 7.

Случай 2: Зачеркнули цифру десятков

Если зачеркнуть цифру десятков $a$, то от исходного числа $10a + b$ останется число $b$. Снова составим уравнение на основе условия задачи:

$10a + b = 17 \cdot b$

Упростим уравнение:

$10a = 17b - b$

$10a = 16b$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$5a = 8b$

Из этого равенства следует, что $5a$ должно делиться на 8. Так как 5 и 8 — взаимно простые числа, $a$ должно быть кратно 8. Единственная цифра от 1 до 9, которая делится на 8, — это $a=8$.
Подставим $a=8$ в уравнение, чтобы найти $b$:

$5 \cdot 8 = 8b$

$40 = 8b$

$b = 5$

Это допустимое значение для цифры единиц. Исходное число в этом случае $10 \cdot 8 + 5 = 85$. Проверим условие: зачеркиваем в числе 85 цифру 8, получаем 5. Отношение $85 / 5 = 17$. Условие выполняется. Других кратных 8 среди цифр десятков нет, поэтому это единственное решение во втором случае.

Ответ: В числе 85 зачеркнули цифру 8.