Номер 1, страница 37 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Решаем устно. Параграф 6. Наименьшее общее кратное. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 1, страница 37.

Условие.

Назовите какое-либо трёхзначное число, которое:

1. 1) делится нацело на 3, но не делится нацело на 9;
2. 2) делится нацело на 9 и на 2;
3. 3) делится нацело на 9 и на 5;
4. 4) делится нацело на 3 и на 4;
5. 5) делится нацело на 9, а при делении на 10 даёт остаток 7.

Решение.

Решение 2.

1) делится нацело на 3, но не делится нацело на 9;

Чтобы найти такое число, воспользуемся признаками делимости на 3 и на 9. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Следовательно, нам нужно найти трёхзначное число, у которого сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Возможные значения для суммы цифр: 3, 6, 12, 15 и так далее. Возьмём, к примеру, сумму цифр, равную 3. Наименьшее трёхзначное число с такой суммой цифр — это 102. Проверим его:
1. Число 102 — трёхзначное.
2. Сумма его цифр: $1 + 0 + 2 = 3$.
3. Сумма цифр (3) делится на 3, значит, и число 102 делится на 3 ($102 \div 3 = 34$).
4. Сумма цифр (3) не делится на 9, значит, и число 102 не делится на 9.
Таким образом, число 102 удовлетворяет всем условиям.
Ответ: 102

2) делится нацело на 9 и на 2;

Искомое число должно одновременно делиться на 9 и на 2.
Признак делимости на 9: сумма цифр числа делится на 9.
Признак делимости на 2: число является чётным, то есть оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.
Значит, нам нужно найти чётное трёхзначное число, сумма цифр которого кратна 9. Пусть сумма цифр равна 9. Нам нужно подобрать такое число, чтобы оно было чётным. Например, пусть последняя цифра будет 8. Тогда число имеет вид $ab8$. Сумма цифр $a + b + 8$ должна делиться на 9. Ближайшее кратное 9 — это 9. Тогда $a + b + 8 = 9$, откуда $a + b = 1$. Так как число трёхзначное, первая цифра $a$ не может быть нулём, поэтому $a=1$, а $b=0$. Получаем число 108.
Проверим число 108:
1. Это трёхзначное число.
2. Оно заканчивается на 8, значит, делится на 2 ($108 \div 2 = 54$).
3. Сумма его цифр $1+0+8=9$, значит, оно делится на 9 ($108 \div 9 = 12$).
Условия выполнены.
Ответ: 108

3) делится нацело на 9 и на 5;

Искомое число должно одновременно делиться на 9 и на 5.
Признак делимости на 9: сумма цифр числа делится на 9.
Признак делимости на 5: число оканчивается на 0 или 5.
Нам нужно найти трёхзначное число, оканчивающееся на 0 или 5, сумма цифр которого кратна 9.
Рассмотрим случай, когда число оканчивается на 0. Оно имеет вид $ab0$. Сумма цифр $a + b + 0$ должна быть кратна 9. Возьмём простейший случай: $a+b=9$. Так как $a \neq 0$, возьмём $a=1$, тогда $b=8$. Получаем число 180.
Проверим число 180:
1. Это трёхзначное число.
2. Оно заканчивается на 0, значит, делится на 5 ($180 \div 5 = 36$).
3. Сумма его цифр $1+8+0=9$, значит, оно делится на 9 ($180 \div 9 = 20$).
Условия выполнены.
Ответ: 180

4) делится нацело на 3 и на 4;

Искомое число должно одновременно делиться на 3 и на 4.
Признак делимости на 3: сумма цифр числа делится на 3.
Признак делимости на 4: число, образованное двумя последними цифрами, делится на 4.
Найдём трёхзначное число, удовлетворяющее этим условиям. Можно искать число, кратное наименьшему общему кратному чисел 3 и 4, то есть 12.
Найдём наименьшее трёхзначное число, кратное 12. $100 \div 12 = 8$ (ост. 4). Значит, ближайшее кратное 12 будет $12 \times 9 = 108$.
Проверим число 108:
1. Это трёхзначное число.
2. Сумма его цифр $1+0+8=9$. 9 делится на 3, значит, 108 делится на 3 ($108 \div 3 = 36$).
3. Две последние цифры образуют число 08, или 8. 8 делится на 4, значит, 108 делится на 4 ($108 \div 4 = 27$).
Условия выполнены. Другой пример: 120. Две последние цифры "20" делятся на 4. Сумма цифр $1+2+0=3$ делится на 3.
Ответ: 108

5) делится нацело на 9, а при делении на 10 даёт остаток 7.

Условие "при делении на 10 даёт остаток 7" означает, что последняя цифра числа равна 7.
Признак делимости на 9: сумма цифр числа делится на 9.
Итак, нам нужно найти трёхзначное число вида $ab7$, у которого сумма цифр $a+b+7$ делится на 9.
Сумма цифр $a+b+7$ может быть равна 9, 18, 27 и т.д.
Рассмотрим первый случай: $a+b+7=9$. Отсюда $a+b=2$.
Так как число трёхзначное, $a \geq 1$. Возможные варианты для $(a, b)$: $(1, 1)$ или $(2, 0)$.
Это даёт нам числа 117 и 207. Возьмём наименьшее из них — 117.
Проверим число 117:
1. Это трёхзначное число.
2. Сумма его цифр $1+1+7=9$, значит, оно делится на 9.
3. Последняя цифра 7, значит, при делении на 10 оно даёт остаток 7.
Условия выполнены.
Ответ: 117