Номер 2, страница 37 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 6. Наименьшее общее кратное. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 2, страница 37.

Условие.

2. Как можно найти НОК двух натуральных чисел, используя их разложения на простые множители?

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел, используя их разложения на простые множители, необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Разложить оба числа на простые множители.

   Это означает представить каждое число в виде произведения простых чисел, записав их в канонической форме (в виде произведения степеней различных простых чисел).

2. Выписать все простые множители.

   Составить список всех простых множителей, которые встречаются в разложении хотя бы одного из чисел.

3. Выбрать для каждого множителя наибольший показатель степени.

   Для каждого простого множителя из полученного списка нужно найти его в разложениях обоих чисел и выбрать тот, у которого показатель степени больше.

4. Перемножить найденные степени.

   Произведение этих степеней и будет являться наименьшим общим кратным (НОК) данных чисел.

Пример: Найдем НОК чисел 72 и 90.

1. Разложим числа на простые множители:

   $72 = 8 \cdot 9 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3^2$
   $90 = 9 \cdot 10 = (3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1$

2. Выпишем все простые множители, которые встречаются в разложениях:

   Это числа 2, 3 и 5.

3. Выберем наибольшие степени для каждого множителя:
   • Для множителя 2 сравниваем степени $2^3$ и $2^1$. Наибольшая – $2^3$.
   • Для множителя 3 в обоих случаях степень $3^2$. Наибольшая – $3^2$.
   • Для множителя 5 он встречается только в одном разложении в степени $5^1$. Это и есть наибольшая степень.
4. Найдем произведение этих степеней:

   $НОК(72, 90) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360$.

Ответ: Чтобы найти НОК двух натуральных чисел, нужно разложить их на простые множители, затем составить произведение, включив в него все встречающиеся простые множители, причем каждый из них нужно взять с наибольшим показателем степени, с которым он входит в разложения.