Номер 158, страница 32 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Наибольший общий делитель. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 158, страница 32.

Условие.

158. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи $1\ast8$, чтобы полученное число делилось нацело на 18?

Решение.

Решение 2.

Чтобы число, имеющее вид $1*8$, делилось нацело на 18, оно должно одновременно удовлетворять двум условиям: делиться на 2 и делиться на 9, поскольку $18 = 2 \times 9$, а числа 2 и 9 являются взаимно простыми.

Сначала проверим условие делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра чётная. В нашем числе $1*8$ последняя цифра — 8. Цифра 8 является чётной, поэтому число $1*8$ будет делиться на 2 при любом значении звёздочки.

Теперь проверим условие делимости на 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Обозначим цифру, стоящую вместо звёздочки, как $x$. Сумма цифр числа $1x8$ равна $1 + x + 8 = 9 + x$.

Эта сумма, $9 + x$, должна быть кратна 9. Поскольку $x$ — это одна цифра, её значение может быть от 0 до 9. Тогда возможные значения суммы $9 + x$ находятся в диапазоне от $9 + 0 = 9$ до $9 + 9 = 18$.

В этом диапазоне есть два числа, которые делятся на 9 без остатка: 9 и 18.

Рассмотрим оба случая:
1. Если сумма цифр равна 9: $9 + x = 9$, откуда $x = 0$.
2. Если сумма цифр равна 18: $9 + x = 18$, откуда $x = 9$.

Таким образом, вместо звёздочки можно поставить цифру 0 или 9, чтобы полученное число (108 или 198) делилось нацело на 18.

Ответ: 0 или 9.