Номер 156, страница 32 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Наибольший общий делитель. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 156, страница 32.

Условие.

156. Из 156 жёлтых, 234 белых и 390 красных роз составили букеты. Какое наибольшее количество одинаковых букетов можно составить, если необходимо использовать все цветы?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы найти наибольшее количество одинаковых букетов, которые можно составить из всех цветов, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 156, 234 и 390. Наибольший общий делитель — это самое большое натуральное число, на которое эти числа делятся без остатка.

Для этого разложим каждое число на простые множители:

Разложение числа 156:
$156 | 2$
$78 | 2$
$39 | 3$
$13 | 13$
$1$
Таким образом, $156 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13$.

Разложение числа 234:
$234 | 2$
$117 | 3$
$39 | 3$
$13 | 13$
$1$
Таким образом, $234 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13 = 2 \cdot 3^2 \cdot 13$.

Разложение числа 390:
$390 | 2$
$195 | 3$
$65 | 5$
$13 | 13$
$1$
Таким образом, $390 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$.

Теперь найдем общие простые множители в наименьших степенях, в которых они входят в разложения чисел:

$156 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 13^1$
$234 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 13^1$
$390 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 13^1$

Общими множителями являются 2, 3 и 13. Берем каждый из них в наименьшей степени, в которой он встречается: $2^1$, $3^1$, $13^1$.

Перемножим эти множители, чтобы найти НОД: $НОД(156; 234; 390) = 2 \cdot 3 \cdot 13 = 78$.

Следовательно, можно составить 78 одинаковых букетов. В каждом букете будет:
Жёлтых роз: $156 \div 78 = 2$
Белых роз: $234 \div 78 = 3$
Красных роз: $390 \div 78 = 5$

Ответ: 78 букетов.