Номер 150, страница 31 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Наибольший общий делитель. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 150, страница 31.

Условие.

150. Используя цифры 2, 3, 4, запишите все возможные двузначные числа (цифры в каждом двузначном числе должны быть различными). Из полученных чисел выпишите пары взаимно простых чисел.

Решение.

Решение 2.

1. Запишите все возможные двузначные числа

Для составления двузначных чисел из цифр 2, 3, 4 без повторения цифр, необходимо перебрать все возможные комбинации для десятков и единиц.
1. Если на месте десятков стоит цифра 2, то на месте единиц может стоять 3 или 4. Получаем числа: 23, 24.
2. Если на месте десятков стоит цифра 3, то на месте единиц может стоять 2 или 4. Получаем числа: 32, 34.
3. Если на месте десятков стоит цифра 4, то на месте единиц может стоять 2 или 3. Получаем числа: 42, 43.
Таким образом, мы получили 6 различных двузначных чисел.

Ответ: 23, 24, 32, 34, 42, 43.

2. Выпишите пары взаимно простых чисел

Взаимно простые числа — это числа, у которых наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Для поиска таких пар среди чисел 23, 24, 32, 34, 42, 43, разложим каждое из них на простые множители:
$23$ — является простым числом.
$24 = 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3$
$32 = 2^5$
$34 = 2 \times 17$
$42 = 2 \times 21 = 2 \times 3 \times 7$
$43$ — является простым числом.

Теперь проверим все возможные пары на наличие общих делителей, отличных от 1.

Пары с числом 23. Так как 23 — простое число, оно будет взаимно простым со всеми числами из списка, которые на него не делятся. Это все остальные числа: 24, 32, 34, 42, 43.
Пары: (23, 24), (23, 32), (23, 34), (23, 42), (23, 43).

Пары с числом 24 (проверяем с оставшимися числами 32, 34, 42, 43).
НОД(24, 32) = 8, так как оба делятся на 8.
НОД(24, 34) = 2, так как оба четные.
НОД(24, 42) = 6, так как оба делятся на 2 и 3.
НОД(24, 43) = 1, так как у них нет общих простых множителей. Пара: (24, 43).

Пары с числом 32 (проверяем с 34, 42, 43).
НОД(32, 34) = 2, так как оба четные.
НОД(32, 42) = 2, так как оба четные.
НОД(32, 43) = 1, так как у них нет общих простых множителей. Пара: (32, 43).

Пары с числом 34 (проверяем с 42, 43).
НОД(34, 42) = 2, так как оба четные.
НОД(34, 43) = 1, так как у них нет общих простых множителей. Пара: (34, 43).

Пары с числом 42 (проверяем с 43).
НОД(42, 43) = 1, так как 43 — простое число, и 42 на него не делится. Пара: (42, 43).

Ответ: (23, 24), (23, 32), (23, 34), (23, 42), (23, 43), (24, 43), (32, 43), (34, 43), (42, 43).