Номер 146, страница 31 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Наибольший общий делитель. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 146, страница 31.

Условие.

146. Запишите все правильные дроби со знаменателем 15, у которых числитель и знаменатель – взаимно простые числа.

Решение.

Решение 2.

Задача состоит в том, чтобы найти все правильные дроби со знаменателем 15, у которых числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.

1. Правильные дроби со знаменателем 15.
Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Так как знаменатель равен 15, числитель $n$ должен быть целым числом, удовлетворяющим условию $1 \le n < 15$.
Таким образом, возможные числители: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

2. Взаимно простые числитель и знаменатель.
Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Это значит, что числитель и знаменатель не должны иметь общих простых делителей.
Разложим знаменатель 15 на простые множители: $15 = 3 \times 5$.
Следовательно, числитель дроби не должен делиться ни на 3, ни на 5.

3. Отбор подходящих числителей.
Теперь из списка возможных числителей (от 1 до 14) выберем те, которые не делятся ни на 3, ни на 5.

• 1 — не делится ни на 3, ни на 5. Подходит.
• 2 — не делится ни на 3, ни на 5. Подходит.
• 3 — делится на 3. Не подходит.
• 4 — не делится ни на 3, ни на 5. Подходит.
• 5 — делится на 5. Не подходит.
• 6 — делится на 3. Не подходит.
• 7 — не делится ни на 3, ни на 5. Подходит.
• 8 — не делится ни на 3, ни на 5. Подходит.
• 9 — делится на 3. Не подходит.
• 10 — делится на 5. Не подходит.
• 11 — не делится ни на 3, ни на 5. Подходит.
• 12 — делится на 3. Не подходит.
• 13 — не делится ни на 3, ни на 5. Подходит.
• 14 — не делится ни на 3, ни на 5. Подходит.

Таким образом, мы получили следующие числители: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.

Запишем искомые дроби.

Ответ: $ \frac{1}{15}, \frac{2}{15}, \frac{4}{15}, \frac{7}{15}, \frac{8}{15}, \frac{11}{15}, \frac{13}{15}, \frac{14}{15} $.