Номер 142, страница 31 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Наибольший общий делитель. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 142, страница 31.

Условие.

142. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 42 и 105;

2) 588 и 252;

3) 680 и 612.

Решение.

Решение 2.

1) 42 и 105;

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) разложим оба числа на простые множители.

Разложение числа 42 на простые множители: $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$.

Разложение числа 105 на простые множители: $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Общими множителями для чисел 42 и 105 являются 3 и 7. Чтобы найти НОД, необходимо перемножить эти общие множители.

$НОД(42, 105) = 3 \cdot 7 = 21$.

Ответ: 21

2) 588 и 252;

Разложим числа 588 и 252 на простые множители.

Разложение числа 588: $588 = 2 \cdot 294 = 2 \cdot 2 \cdot 147 = 2^2 \cdot 3 \cdot 49 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7^2$.

Разложение числа 252: $252 = 2 \cdot 126 = 2 \cdot 2 \cdot 63 = 2^2 \cdot 3 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$.

Для нахождения НОД, выберем общие простые множители в наименьшей степени, в которой они входят в разложения обоих чисел, и перемножим их.

Общие множители с наименьшими степенями: $2^2$, $3^1$, $7^1$.

$НОД(588, 252) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$.

Ответ: 84

3) 680 и 612;

Разложим числа 680 и 612 на простые множители.

Разложение числа 680: $680 = 10 \cdot 68 = (2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 17) = 2^3 \cdot 5 \cdot 17$.

Разложение числа 612: $612 = 2 \cdot 306 = 2^2 \cdot 153 = 2^2 \cdot 9 \cdot 17 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 17$.

Выберем общие простые множители в наименьшей степени и перемножим их.

Общие множители с наименьшими степенями: $2^2$, $17^1$.

$НОД(680, 612) = 2^2 \cdot 17 = 4 \cdot 17 = 68$.

Ответ: 68