Номер 138, страница 31 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Наибольший общий делитель. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 138, страница 31.

Условие.

138. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 12 и 18;

2) 24 и 30;

3) 6 и 36;

4) 48 и 64;

5) 35 и 18;

6) 14, 21 и 28.

Решение.

Решение 2.

1) 12 и 18

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел, разложим их на простые множители. Простые множители – это простые числа, которые при перемножении дают исходное число.

Разложим число 12: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.

Разложим число 18: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$.

Теперь выберем общие для обоих разложений множители в наименьшей степени. Общие множители — это 2 и 3. Наименьшая степень для 2 — это $2^1$, а для 3 — это $3^1$.

Перемножим их: НОД(12, 18) = $2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

2) 24 и 30

Найдем НОД для 24 и 30, разложив их на простые множители.

Разложение числа 24: $24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2^3 \cdot 3$.

Разложение числа 30: $30 = 2 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Общими простыми множителями являются 2 и 3. Берем их в наименьших степенях, в которых они входят в оба разложения: $2^1$ и $3^1$.

Найдем их произведение: НОД(24, 30) = $2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

3) 6 и 36

В данном случае число 36 делится на 6 без остатка ($36 : 6 = 6$). Если одно число делится на другое, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел.

Проверим это с помощью разложения на множители:

Разложение числа 6: $6 = 2 \cdot 3$.

Разложение числа 36: $36 = 6 \cdot 6 = 2^2 \cdot 3^2$.

Общие множители в наименьших степенях — $2^1$ и $3^1$.

НОД(6, 36) = $2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

4) 48 и 64

Найдем НОД для 48 и 64 через разложение на простые множители.

Разложение числа 48: $48 = 2 \cdot 24 = 2^2 \cdot 12 = 2^3 \cdot 6 = 2^4 \cdot 3$.

Разложение числа 64: $64 = 2^6$.

Единственный общий простой множитель — это 2. Наименьшая степень, в которой он встречается в разложениях, — это 4 (так как $2^4$ есть в разложении 48, а в разложении 64 есть $2^6$, и $4 < 6$).

НОД(48, 64) = $2^4 = 16$.

Ответ: 16

5) 35 и 18

Разложим числа 35 и 18 на простые множители.

Разложение числа 35: $35 = 5 \cdot 7$.

Разложение числа 18: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$.

В разложениях этих чисел нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми. Их наибольший общий делитель всегда равен 1.

НОД(35, 18) = 1.

Ответ: 1

6) 14, 21 и 28

Найдем НОД для трех чисел, разложив каждое из них на простые множители.

Разложение числа 14: $14 = 2 \cdot 7$.

Разложение числа 21: $21 = 3 \cdot 7$.

Разложение числа 28: $28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.

Единственный простой множитель, который есть в разложении каждого из трех чисел, — это 7. Он входит в каждое разложение в первой степени.

Следовательно, НОД(14, 21, 28) = 7.

Ответ: 7