Номер 140, страница 31 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Наибольший общий делитель. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 140, страница 31.

Условие.

140. Найдите наибольший общий делитель чисел a и b:

1) a = $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$ и b = $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$;

2) a = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 19$ и b = $2^2 \cdot 3^5 \cdot 11^2 \cdot 19^3$.

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, разложенных на простые множители, необходимо найти произведение их общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени, с которым он встречается в разложениях.

Даны числа:

$a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 19^1$

$b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^1 \cdot 11^1 \cdot 13^1$

Общими простыми множителями для чисел $a$ и $b$ являются 2, 3 и 7. Выберем для каждого из этих множителей наименьшую степень, в которой он входит в разложения. Для множителя 2 наименьшая степень – 1 (из разложения числа $b$). Для множителя 3 наименьшая степень – 1 (из разложения числа $a$). Для множителя 7 наименьшая степень – 1 (входит в оба разложения в одинаковой степени).

Теперь перемножим эти множители с выбранными показателями:

НОД($a, b$) = $2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.

Ответ: 42.

2) Применим тот же алгоритм для второй пары чисел.

Даны числа:

$a = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 19$

$b = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 11^2 \cdot 19^3$

Общими простыми множителями для чисел $a$ и $b$ являются 2, 3, 11 и 19. Множитель 7 не является общим, так как он отсутствует в разложении числа $b$.

Выберем для каждого общего множителя наименьшую степень из двух разложений. Для множителя 2 наименьшая степень – $\min(3, 2) = 2$. Для множителя 3 – $\min(2, 5) = 2$. Для множителя 11 – $\min(2, 2) = 2$. Для множителя 19 – $\min(1, 3) = 1$.

Составим произведение, чтобы найти НОД:

НОД($a, b$) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2 \cdot 19^1$.

Вычислим значение этого выражения:

$2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2 \cdot 19 = 4 \cdot 9 \cdot 121 \cdot 19 = 36 \cdot 121 \cdot 19 = 4356 \cdot 19 = 82764$.

Ответ: 82764.