Номер 141, страница 31 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Наибольший общий делитель. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 141, страница 31.

Условие.

141. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) $72$ и $120$;

2) $792$ и $1188$;

3) $924$ и $396$;

4) $116$ и $111$.

Решение.

Решение 2.

Наибольший общий делитель (НОД) — это самое большое натуральное число, на которое оба заданных числа делятся без остатка. Для нахождения НОД разложим каждое число на простые множители и найдём произведение их общих простых множителей, взятых в наименьшей степени.

1) 72 и 120

Разложим числа на простые множители:
$72 = 2 \cdot 36 = 2^2 \cdot 18 = 2^3 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$
$120 = 10 \cdot 12 = (2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
Общие простые множители этих чисел — 2 и 3. Находим наименьшие степени для этих множителей в разложениях: для 2 это степень 3, для 3 это степень 1.
Следовательно, НОД(72; 120) = $2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.

Ответ: 24

2) 792 и 1 188

Разложим числа на простые множители:
$792 = 2 \cdot 396 = 2^2 \cdot 198 = 2^3 \cdot 99 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 11^1$
$1188 = 2 \cdot 594 = 2^2 \cdot 297 = 2^2 \cdot 3 \cdot 99 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 11^1$
Общие простые множители — 2, 3 и 11. Наименьшие степени для них: для 2 — степень 2, для 3 — степень 2, для 11 — степень 1.
Следовательно, НОД(792; 1188) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^1 = 4 \cdot 9 \cdot 11 = 396$.

Ответ: 396

3) 924 и 396

Разложим числа на простые множители:
$924 = 2 \cdot 462 = 2^2 \cdot 231 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 77 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1$
$396 = 2 \cdot 198 = 2^2 \cdot 99 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^1$
Общие простые множители — 2, 3 и 11. Наименьшие степени для них: для 2 — степень 2, для 3 — степень 1, для 11 — степень 1.
Следовательно, НОД(924; 396) = $2^2 \cdot 3^1 \cdot 11^1 = 4 \cdot 3 \cdot 11 = 132$.

Ответ: 132

4) 116 и 111

Разложим числа на простые множители:
$116 = 2 \cdot 58 = 2^2 \cdot 29$
$111 = 3 \cdot 37$ (сумма цифр $1+1+1=3$, поэтому число делится на 3).
Разложения этих чисел на простые множители не содержат общих множителей. Такие числа называются взаимно простыми.
Наибольший общий делитель взаимно простых чисел всегда равен 1.
Следовательно, НОД(116; 111) = 1.

Ответ: 1