Номер 148, страница 31 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Наибольший общий делитель. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 148, страница 31.

Условие.

148. Докажите, что:

1) числа 364 и 495 — взаимно простые;

2) числа 380 и 399 не являются взаимно простыми.

Решение.

Решение 2.

1) числа 364 и 495 — взаимно простые;

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы доказать это, разложим оба числа на простые множители.

Разложение числа 364 на простые множители:
$364 = 2 \cdot 182 = 2 \cdot 2 \cdot 91 = 2^2 \cdot 7 \cdot 13$.

Разложение числа 495 на простые множители:
$495 = 5 \cdot 99 = 5 \cdot 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 5 \cdot 11$.

Простые множители числа 364 — это 2, 7 и 13.
Простые множители числа 495 — это 3, 5 и 11.

Сравнивая множители, мы видим, что у чисел 364 и 495 нет общих простых делителей. Это означает, что их наибольший общий делитель равен 1.
НОД(364, 495) = 1.
Следовательно, числа являются взаимно простыми.

Ответ: Числа 364 и 495 являются взаимно простыми, так как их разложения на простые множители ($364 = 2^2 \cdot 7 \cdot 13$ и $495 = 3^2 \cdot 5 \cdot 11$) не имеют общих множителей.

2) числа 380 и 399 не являются взаимно простыми.

Чтобы доказать, что числа не являются взаимно простыми, достаточно найти у них хотя бы один общий делитель, отличный от 1. Для этого разложим числа на простые множители.

Разложение числа 380 на простые множители:
$380 = 10 \cdot 38 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 19) = 2^2 \cdot 5 \cdot 19$.

Разложение числа 399 на простые множители:
Сумма цифр числа 399 равна $3+9+9=21$, значит, оно делится на 3.
$399 = 3 \cdot 133$.
Далее, $133 = 7 \cdot 19$.
Таким образом, $399 = 3 \cdot 7 \cdot 19$.

Сравним разложения на простые множители:
$380 = 2^2 \cdot 5 \cdot 19$
$399 = 3 \cdot 7 \cdot 19$

Оба числа имеют общий простой множитель 19. Это означает, что их наибольший общий делитель равен 19.
НОД(380, 399) = 19.
Так как НОД > 1, числа не являются взаимно простыми.

Ответ: Числа 380 и 399 не являются взаимно простыми, так как у них есть общий делитель 19.