Номер 147, страница 31 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Наибольший общий делитель. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 147, страница 31.

Условие.

147. Запишите все неправильные дроби с числителем 16, у которых числитель и знаменатель – взаимно простые числа.

Решение.

Решение 2.

Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{16}{n}$, где $n$ — натуральное число.

Согласно условию, дробь является неправильной. Это означает, что её числитель больше или равен знаменателю: $16 \ge n$. Таким образом, знаменатель $n$ может принимать любые натуральные значения от 1 до 16.

Также по условию числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Это значит, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1: $НОД(16, n) = 1$.

Чтобы найти числа, взаимно простые с 16, разложим число 16 на простые множители: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$. Единственный простой делитель числа 16 — это 2. Следовательно, чтобы число $n$ было взаимно простым с 16, оно не должно делиться на 2. Другими словами, знаменатель $n$ должен быть нечетным числом.

Теперь нам нужно найти все нечетные натуральные числа $n$, которые удовлетворяют условию $1 \le n \le 16$. Перечислим их: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.

Теперь запишем все дроби с числителем 16 и найденными знаменателями:

$\frac{16}{1}, \frac{16}{3}, \frac{16}{5}, \frac{16}{7}, \frac{16}{9}, \frac{16}{11}, \frac{16}{13}, \frac{16}{15}$

Ответ: $\frac{16}{1}, \frac{16}{3}, \frac{16}{5}, \frac{16}{7}, \frac{16}{9}, \frac{16}{11}, \frac{16}{13}, \frac{16}{15}$.