Номер 149, страница 31 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Наибольший общий делитель. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 149, страница 31.

Условие.

149. Докажите, что:

1) числа 945 и 572 – взаимно простые;

2) числа 1 095 и 738 не являются взаимно простыми.

Решение.

Решение 2.

1) числа 945 и 572 — взаимно простые;
Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы доказать, что числа 945 и 572 взаимно простые, найдем их НОД. Для этого разложим каждое число на простые множители.
Разложим на множители число 945:
Число заканчивается на 5, значит, оно делится на 5: $945 = 5 \cdot 189$.
Сумма цифр числа 189 ($1+8+9=18$) делится на 9, значит, и само число делится на 9: $189 = 9 \cdot 21 = 3^2 \cdot (3 \cdot 7) = 3^3 \cdot 7$.
Таким образом, разложение числа 945 на простые множители: $945 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

Теперь разложим на множители число 572:
Число четное, значит, делится на 2: $572 = 2 \cdot 286$.
Число 286 также четное: $286 = 2 \cdot 143$.
Число 143 можно представить как произведение 11 и 13: $143 = 11 \cdot 13$.
Таким образом, разложение числа 572 на простые множители: $572 = 2^2 \cdot 11 \cdot 13$.

Сравним полученные разложения:
$945 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$
$572 = 2^2 \cdot 11 \cdot 13$
У этих чисел нет общих простых множителей. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.
НОД(945, 572) = 1.
Ответ: Поскольку наибольший общий делитель чисел 945 и 572 равен 1, они являются взаимно простыми.

2) числа 1 095 и 738 не являются взаимно простыми.
Чтобы доказать, что числа не являются взаимно простыми, нужно показать, что их наибольший общий делитель (НОД) больше 1. Для этого найдем их общие делители, разложив числа на простые множители.
Разложим на множители число 1 095:
Число заканчивается на 5, значит, оно делится на 5: $1095 = 5 \cdot 219$.
Сумма цифр числа 219 ($2+1+9=12$) делится на 3, значит, и само число делится на 3: $219 = 3 \cdot 73$.
Число 73 является простым.
Таким образом, разложение числа 1 095 на простые множители: $1095 = 3 \cdot 5 \cdot 73$.

Теперь разложим на множители число 738:
Число четное, значит, делится на 2: $738 = 2 \cdot 369$.
Сумма цифр числа 369 ($3+6+9=18$) делится на 9, значит, и само число делится на 9: $369 = 9 \cdot 41 = 3^2 \cdot 41$.
Число 41 является простым.
Таким образом, разложение числа 738 на простые множители: $738 = 2 \cdot 3^2 \cdot 41$.

Сравним полученные разложения:
$1095 = \underline{3} \cdot 5 \cdot 73$
$738 = 2 \cdot \underline{3}^2 \cdot 41$
У этих чисел есть общий простой множитель — 3. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 3.
НОД(1095, 738) = 3.
Ответ: Поскольку наибольший общий делитель чисел 1 095 и 738 равен 3 (что больше 1), они не являются взаимно простыми.