Номер 143, страница 31 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Наибольший общий делитель. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 143, страница 31.

Условие.

143. Среди данных пар чисел выберите пары взаимно простых чисел:

1) 14 и 21; 3) 42 и 55; 5) 28 и 39;

2) 54 и 65; 4) 14 и 70; 6) 63 и 42.

Для пар чисел, не являющихся взаимно простыми, укажите наибольший общий делитель.

Решение.

Решение 2.

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы определить, является ли пара чисел взаимно простой, найдем их общие делители, разложив числа на простые множители.

1) 14 и 21

Разложим числа на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$21 = 3 \cdot 7$
У чисел 14 и 21 есть общий множитель 7. Следовательно, они не являются взаимно простыми. Их наибольший общий делитель равен 7.
Ответ: не являются взаимно простыми, НОД(14, 21) = 7.

2) 54 и 65

Разложим числа на простые множители:
$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$
$65 = 5 \cdot 13$
Общих простых множителей у чисел 54 и 65 нет. Следовательно, они являются взаимно простыми.
Ответ: являются взаимно простыми.

3) 42 и 55

Разложим числа на простые множители:
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$55 = 5 \cdot 11$
Общих простых множителей у чисел 42 и 55 нет. Следовательно, они являются взаимно простыми.
Ответ: являются взаимно простыми.

4) 14 и 70

Разложим числа на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$70 = 10 \cdot 7 = 2 \cdot 5 \cdot 7$
У чисел 14 и 70 есть общие множители 2 и 7. Следовательно, они не являются взаимно простыми. Их наибольший общий делитель равен произведению общих множителей: $НОД(14, 70) = 2 \cdot 7 = 14$.
Ответ: не являются взаимно простыми, НОД(14, 70) = 14.

5) 28 и 39

Разложим числа на простые множители:
$28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$
$39 = 3 \cdot 13$
Общих простых множителей у чисел 28 и 39 нет. Следовательно, они являются взаимно простыми.
Ответ: являются взаимно простыми.

6) 63 и 42

Разложим числа на простые множители:
$63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$
$42 = 6 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
У чисел 63 и 42 есть общие множители 3 и 7. Следовательно, они не являются взаимно простыми. Их наибольший общий делитель равен произведению общих множителей: $НОД(63, 42) = 3 \cdot 7 = 21$.
Ответ: не являются взаимно простыми, НОД(63, 42) = 21.