Номер 6, страница 31 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Решаем устно. Параграф 5. Наибольший общий делитель. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 6, страница 31.

Условие.

6. Сколько всего делителей у числа $a$, если $a = 3 \cdot 5 \cdot 19$?

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти общее количество делителей числа, нужно сначала представить это число в виде произведения его простых множителей (каноническое разложение). Если число $n$ имеет каноническое разложение $n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \dots \cdot p_m^{k_m}$, где $p_1, p_2, \dots, p_m$ — различные простые числа, а $k_1, k_2, \dots, k_m$ — их степени, то общее количество делителей $\tau(n)$ находится по формуле:$\tau(n) = (k_1 + 1) \cdot (k_2 + 1) \cdot \dots \cdot (k_m + 1)$

В данном случае число $a$ уже разложено на простые множители, так как числа 3, 5 и 19 являются простыми.$a = 3 \cdot 5 \cdot 19$Представим это разложение в виде степеней:$a = 3^1 \cdot 5^1 \cdot 19^1$

Здесь основаниями степеней являются простые числа $p_1=3, p_2=5, p_3=19$, а их показатели (степени) равны $k_1=1, k_2=1, k_3=1$.

Подставим значения показателей в формулу для нахождения количества делителей:$\tau(a) = (1 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Таким образом, у числа $a$ всего 8 делителей. Мы можем их перечислить, чтобы убедиться в правильности ответа. Делителями являются все возможные комбинации произведений его простых множителей, а также 1:

• 1
• 3
• 5
• 19
• $3 \cdot 5 = 15$
• $3 \cdot 19 = 57$
• $5 \cdot 19 = 95$
• $3 \cdot 5 \cdot 19 = 285$

Всего делителей: 1, 3, 5, 15, 19, 57, 95, 285 — ровно 8.

Ответ: 8