Номер 3, страница 30 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 5. Наибольший общий делитель. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 3, страница 30.

Условие.

3. Какие числа называют взаимно простыми?

Решение.

Решение 2.

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Это означает, что у этих чисел нет никаких общих положительных делителей, кроме единицы.

Эквивалентное определение гласит, что два натуральных числа являются взаимно простыми, если в разложении этих чисел на простые множители нет ни одного общего множителя.

Формально, для двух чисел $a$ и $b$ их взаимная простота означает, что выполняется условие: $НОД(a, b) = 1$.

Примеры:

• Числа 8 и 15.
  Найдем делители для каждого числа:
  Делители числа 8: {1, 2, 4, 8}.
  Делители числа 15: {1, 3, 5, 15}.
  Единственный общий делитель — это 1. Следовательно, $НОД(8, 15) = 1$. Числа 8 и 15 являются взаимно простыми. Заметьте, что ни 8, ни 15 сами по себе не являются простыми числами.
• Числа 7 и 11.
  Оба числа являются простыми. У простых чисел есть только два делителя: 1 и само число. Их единственный общий делитель — это 1. Следовательно, $НОД(7, 11) = 1$. Любые два различных простых числа всегда взаимно просты.
• Числа 25 и 36.
  Можно проверить через разложение на простые множители:
  $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
  $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$
  В разложениях нет общих простых множителей, значит, числа взаимно простые.

Контрпример (не взаимно простые числа):

• Числа 12 и 18.
  Делители числа 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
  Делители числа 18: {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
  Общие делители: {1, 2, 3, 6}. Наибольший из них равен 6. Так как $НОД(12, 18) = 6$, а не 1, эти числа не являются взаимно простыми.

Ответ: Взаимно простыми называют такие натуральные числа, у которых наибольший общий делитель равен 1.