Номер 2, страница 30 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 5. Наибольший общий делитель. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 2, страница 30.

Условие.

2. Как можно найти НОД двух натуральных чисел, используя их разложения на простые множители?

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел, используя их разложения на простые множители, необходимо следовать алгоритму:

1. Разложить оба числа на простые множители. Это означает представить каждое число в виде произведения простых чисел в соответствующих степенях.
2. Определить общие простые множители, то есть те, которые присутствуют в разложении каждого из чисел.
3. Для каждого общего простого множителя выбрать наименьший показатель степени, с которым он входит в оба разложения.
4. Перемножить эти выбранные степени общих простых множителей. Полученное произведение и будет являться НОД данных чисел.

Пример 1: Найти НОД чисел 48 и 72.

1. Разложим числа на простые множители:

$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^1$

$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$

2. Общие простые множители для 48 и 72 — это 2 и 3.

3. Выберем наименьшие показатели степеней для этих множителей:

• Для множителя 2: степени равны 4 и 3. Наименьшая степень — 3. Берем $2^3$.
• Для множителя 3: степени равны 1 и 2. Наименьшая степень — 1. Берем $3^1$.

4. Перемножим полученные степени:

НОД(48, 72) = $2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.

Пример 2: Найти НОД чисел 90 и 126.

1. Разложим числа на простые множители:

$90 = 2 \cdot 45 = 2 \cdot 3 \cdot 15 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1$

$126 = 2 \cdot 63 = 2 \cdot 3 \cdot 21 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^1$

2. Общие простые множители для 90 и 126 — это 2 и 3.

3. Выберем наименьшие показатели степеней:

• Для множителя 2: степени равны 1 и 1. Наименьшая степень — 1. Берем $2^1$.
• Для множителя 3: степени равны 2 и 2. Наименьшая степень — 2. Берем $3^2$.

Множители 5 и 7 не являются общими, поэтому мы их не учитываем.

4. Перемножим полученные степени:

НОД(90, 126) = $2^1 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.

Ответ: Чтобы найти НОД двух натуральных чисел, нужно разложить их на простые множители, а затем найти произведение их общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения.