Номер 134, страница 25 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Простые и составные числа. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 134, страница 25.

Условие.

134. При делении нацело числа $a$ на $6$ получили число, кратное $12$. Делится ли нацело число $a$ на $9$? Ответ обоснуйте.

Решение.

Решение 2.

По условию задачи, при делении нацело числа $a$ на $b$ получили число, кратное 12. Запишем это в виде математического выражения.

Пусть $c$ — результат деления $a$ на $b$. Тогда: $a / b = c$

Известно, что $c$ кратно 12. Это означает, что существует такое целое число $k$, что: $c = 12k$

Подставим второе равенство в первое: $a / b = 12k$

Отсюда выразим $a$: $a = 12 \cdot b \cdot k$

Теперь нам нужно определить, делится ли число $a$ нацело на 9. Для того чтобы число делилось на 9, оно должно иметь в своем разложении на простые множители как минимум две тройки ($9 = 3 \cdot 3$).

Рассмотрим выражение для $a$: $a = 12 \cdot b \cdot k = (3 \cdot 4) \cdot b \cdot k$

В этом выражении есть один множитель 3 (из числа 12). Чтобы число $a$ было кратно 9, необходимо, чтобы произведение $4 \cdot b \cdot k$ было кратно 3. Поскольку 4 не делится на 3, то либо $b$, либо $k$ (или оба) должны быть кратны 3.

Однако в условии задачи нет никаких ограничений на числа $b$ и $k$. Они могут быть любыми целыми числами (кроме $b=0$), не кратными 3.

Приведем контрпример, который удовлетворяет условию, но не приводит к делимости $a$ на 9.

Пусть $b=1$ и $k=1$. В этом случае результат деления $c = 12 \cdot 1 = 12$. Число 12 кратно 12, что соответствует условию. При этом число $a = 12 \cdot b \cdot k = 12 \cdot 1 \cdot 1 = 12$. Число 12 не делится нацело на 9.

Поскольку мы нашли пример, в котором условие задачи выполняется, а число $a$ на 9 не делится, то мы не можем утверждать, что $a$ всегда делится на 9.

Ответ: Нет, не обязательно. Число $a$ будет делиться на 9 только в том случае, если произведение делителя $b$ и некоторого целого числа $k$ (где частное равно $12k$) будет кратно 3. В общем случае это неверно, например, если $a=24$, $b=2$, то частное равно 12 (кратно 12), но 24 на 9 не делится.