Номер 128, страница 25 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Простые и составные числа. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 128, страница 25.

Условие.

128. Простое число, большее 1 000, поделили на 6. Чему может быть равным остаток?

Решение.

Решение 2.

Пусть $p$ — простое число, причём по условию $p > 1000$.

При делении любого целого числа на 6 в остатке могут получиться числа 0, 1, 2, 3, 4 или 5. Представим число $p$ в виде $p = 6k + r$, где $k$ — это частное, а $r$ — остаток ($0 \le r < 6$). Проанализируем все возможные значения остатка $r$.

• Если $r = 0$, то $p = 6k$. Это означает, что число $p$ делится на 6 (а также на 2 и на 3). Так как $p > 1000$, оно не является простым числом. Этот случай невозможен.
• Если $r = 1$, то $p = 6k + 1$. Число такого вида может быть простым. Например, первое простое число после 1000 — это 1009. $1009 = 6 \cdot 168 + 1$. Остаток равен 1. Этот случай возможен.
• Если $r = 2$, то $p = 6k + 2 = 2(3k + 1)$. Это означает, что число $p$ делится на 2. Единственное простое число, которое делится на 2, — это 2. Но по условию $p > 1000$, значит, $p$ не может быть простым. Этот случай невозможен.
• Если $r = 3$, то $p = 6k + 3 = 3(2k + 1)$. Это означает, что число $p$ делится на 3. Единственное простое число, которое делится на 3, — это 3. Но по условию $p > 1000$, значит, $p$ не может быть простым. Этот случай невозможен.
• Если $r = 4$, то $p = 6k + 4 = 2(3k + 2)$. Это означает, что число $p$ делится на 2. Как и в случае с остатком 2, такое число не может быть простым, так как $p > 1000$. Этот случай невозможен.
• Если $r = 5$, то $p = 6k + 5$. Число такого вида может быть простым. Например, простое число 1013 при делении на 6 даёт в остатке 5: $1013 = 6 \cdot 168 + 5$. Этот случай возможен.

Следовательно, единственно возможными остатками при делении простого числа, большего 1000 (и вообще любого простого числа, большего 3), на 6 являются 1 и 5.

Ответ: 1 или 5.